ГЛАВА VI. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 40. Малые колебания консервативной системы

Если в начальный момент времени положение склерономной системы выбрано достаточно близким к положению устойчивого равновесия и начальные скорости по абсолютной величине достаточно малы, то на протяжении всего движения будут малыми по абсолютной величине как сами отклонения от положения равновесия, так и обобщенные скорости. Это обстоятельство позволяет сохранить в дифференциальных уравнениях движения только линейные члены относительно отклонений и скоростей, а члены более высокого порядка малости отбросить. Тогда дифференциальные уравнения движения становятся линейными, т. е. задача «линеаризуется». В этом параграфе рассматривается линеаризация уравнений движения для случая консервативной системы.

Кинетическая и потенциальная энергии консервативной системы с степенями свободы выражаются через независимые координаты и обобщенные скорости следующим образом:

Как и в предыдущей главе, примем, что начало координат является положением равновесия и что в этом же положении Разложим коэффициенты в ряды по степеням координат:

где постоянные. Подставляя эти выражения для коэффициентов в формулу (1) для кинетической энергии, получаем

где через мы обозначили сумму членов третьего и более высоких порядков относительно .

Разложим также и потенциальную энергию в ряд по степеням координат:

По условию Кроме того, в положении равновесия обобщенные силы равны нулю

Поэтому, введя обозначения

мы и потенциальную энергию представим в виде

Отбрасывая в формулах (3) и (5) члены третьего и более высокого порядков малости относительно мы представим кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами

где

Из физического смысла кинетической энергии ясно, что всегда Поскольку мы предполагаем, что положение

равновесия не является особой точкой, то всегда , если только не все обобщенные скорости равны одновременно нулю, т. е. квадратичная форма является положительно определенной:

Далее, для того чтобы обеспечить устойчивость данного положения равновесия, потребуем, чтобы (в соответствии с теоремой Лагранжа) в положении равновесия потенциальная энергия имела строгий минимум. Поскольку то это означает, что в некоторой окрестности начала координат

Но квадратичная форма (8) представляет собой однородную функцию второй степени относительно координат. Поэтому неравенство (8) имеет место во всем пространстве, за исключением начала координат, где эта форма обращается в нуль. Другими словами, потенциальная энергия также представлена в виде положительно определенной квадратичной формы относительно координат.

Составим уравнения Лагранжа, исходя из выражений (6) для Т и П:

Будем искать частное решение этой системы линейных дифференциальных уравнений в виде

т. е. в виде гармонических колебаний с одной и той же частотой и с одной и той же постоянной а для всех координат.

Подставляя выражения (10) для в дифференциальных уравнениях (9) и полагая

получаем после сокращения на следующую систему алгебраических уравнений, линейных относительно амплитуд

Так как все амплитуды искомого колебания не должны обращаться в нуль, то определитель системы однородных уравнений (12) должен быть равен нулю:

После раскрытия определителя мы получим в левой части многочлен степени относительно X. Таким образом, квадрат частоты искомого гармонического решения (10) должен удовлетворять алгебраическому уравнению степени (13). Уравнение (13) называется вековым уравнением или уравнением частот.

Каждому корню X уравнения (13) соответствует частное решение (10) (при произвольном постоянном а) системы дифференциальных уравнений (9). В этом решении

Запишем приведенные выше формулы в матричной форме. Введем в рассмотрении две симметрические положительно

определенные матрицы

и векторы-столбцы

( — амплитудный вектор). Тогда система дифференциальных уравнений (9) запишется в виде

Частное решение (10) будет выглядеть так:

а результат подстановки решения (17) в уравнение (16), т. е. система алгебраических уравнений (12), имеет вид

Уравнение частот запишется так:

Для того чтобы выяснить, что корни X векового уравнения (19) всегда вещественны и положительны, рассмотрим предварительно некоторые свойства квадратичных форм с вещественными коэффициентами.

Каждой квадратичной форме соответствует некоторая билинейная форма для которой

введем сокращенное обозначение

тогда квадратичная форма запишется так:

Легко проверяются следующие свойства билинейной формы:

Покажем еще, что для любого комплексного вектора

4°. — вещественное число).

Действительно, полагая и а) — вещественные векторы-столбцы), в силу 1° — 3°, найдем:

Последнее выражение явно вещественно.

Из равенства (20) следует также

5°. Если — положительно определенная квадратичная форма, а — произвольный комплексный вектор, то

В самом деле, полагая имеем . В одном из этих соотношений имеет место знак так как из в следует, по крайней мере, одно из неравенств Тогда из равенства (20) следует равенство (21).

Докажем теперь

6°. Если X — корень векового уравнения а — соответствующий ему амплитудный вектор [см. (18)]

то при любом векторе

Действительно, в скалярной записи равенство (22) принимает вид

Умножив обе части уравнения (22) на и просуммировав по I, получим:

т. e. равенство (23).

Покажем теперь, что для любых двух амплитудных векторов и и а, соответствующих различным корням векового уравнения X а , выполняется соотношение

Действительно, согласно 6°, имеют место два равенства:

Но Поэтому из равенств (25) следует соотношение (24).

Докажем теперь, что из симметричности матриц А и С и из положительной определенности матрицы А следует, что вековое уравнение (13) [или (19)] имеет только вещественные корни.

Действительно, пусть X — комплексный корень векового уравнения и ему соответствует комплексный вектор и Тогда X также корень векового уравнения с амплитудным вектором и. Поскольку то, по доказанному, что противоречит неравенству (21).

Если X вещественно, то и соответствующий ему амплитудный вектор может быть выбран вещественным. Тогда, полагая в и замечая, что А (и, находим

Но в нашем случае квадратичная форма также является положительно определенной. Тогда не только но и Следовательно,

Таким образом, вековое уравнение (13) имеет положительных корней которым соответствуют вещественные положительные частоты и вещественные амплитудные векторы и

Рассмотрим сначала случай, когда все корни векового уравнения различны. Каждому соответствует частное решение

с амплитудным вектором координаты которого -должны удовлетворять системе линейных уравнений

или в матричной записи

Так как система дифференциальных уравнений (9) [или (16)] линейна, то линейная комбинация с постоянными коэффициентами решений (27) есть снова решение этой системы.

Поэтому

при произвольных постоянных является решением системы (9) или (16). Мы покажем, что формула (30) охватывает все движения системы.

Докажем предварительно, что амплитудных векторов линейно независимы. Действительно, пусть

Тогда при любом фиксированном

Но при при Поэтому из равенств (31) следует:

т. е. между векторами не может быть линейной зависимости.

Подберем теперь в формуле (30) значения произвольных постоянных так, чтобы удовлетворялись произвольные наперед заданные начальные условия

или в матричной записи

Из формул (30) находим

В силу линейной независимости векторов отсюда однозначно определяются произведения , следовательно, поскольку однозначно определяются значения произвольных постоянных

Таким образом, при отсутствии у векового уравнения кратных корней формула (30) охватывает все колебания системы.

Если же уравнение частот имеет кратные корни, то можно утверждать, что решений вида и будет во всяком случае где — число различных корней векового уравнения.

Лагранж считал, что в случае кратных частот общее решение системы (9) уже не представляется в форме (30) и что в правой части (30) появляются так называемые вековые члены вида

Однако Лагранж ошибся. Как доказал позже Вейерштрасс, каждому корню кратности соответствует ровно линейно независимых решений системы линейных уравнений (12), т. е. для каждого корня кратности можно найти линейно независимых амплитудных векторов. Таким образом, и в случае кратных частот существует линейно независимых амплитудных векторов и составленная с их помощью формула (30) дает общее решение и в этом случае.

Колебания

из которых складывается произвольное колебание системы, называются главными колебаниями системы.

Строгий вывод формулы (30) в общем случае (т. е. и при наличии кратных частот) с помощью так называемых

«нормальных» координат будет дан в следующем параграфе. При этом выводе случай кратных корней векового уравнения не выделяется особо.

Пример. Связанные маятники. Точки подвеса двух одинаковых математических маятников с массой и длиной расположены на одной горизонтальной прямой. Точки этих маятников, отстоящие от точек подвеса на расстоянии соединены между собой пружиной жесткости 7; пружина находится в нерастянутом состоянии, когда маятники занимают вертикальное положение. Требуется определить колебание системы в вертикальной плоскости.

В качестве независимых координат возьмем углы образованные маятниками с вертикалью (рис. 49). В положении равновесия . С точностью до малых величин высшего порядка удлинение пружины равно Поэтому в данном случае

Сохраняя в П только квадратичные члены, окончательно будем иметь

где

Напишем уравнение частот

и одно из двух уравнений для определения амплитуд в главных колебаниях (эти два уравнения зависимы)

Из уравнения частот находим

Рис. 49.

Соответственно для первого главного колебания и

а для второго и

В первом главном колебании оба маятника все время находятся в одной фазе, пружина не растянута и маятники не оказывают никакого влияния друг на друга. Во втором главном колебании маятники находятся все время в противоположных фазах.

Произвольное колебание получается наложением двух главных колебаний: