ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ

§ 11. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Обобщенный потенциал. Ненатуральные системы

Пусть обобщенные силы являются потенциальными, т. е. пусть существует потенциал сил (потенциальная энергия) (см. § 8) и

Тогда уравнения Лагранжа

записываются в виде

где

Функция называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом.

Кинетический потенциал так же как и кинетическая энергия Т, представляет собой функцию второй степени относительно обобщенных скоростей:

где

Здесь коэффициенты являются функциями от координат и времени . Сопоставление формулы (3) с формулой (5) на стр. 53 дает

Заметим, что в случае, когда действующие на материальные точки активные силы имеют потенциал в декартовых координатах т. е.

эти силы и в независимых координатах имеют потенциал (обратное утверждение в общем случае неверно!) и этим потенциалом является тот же потенциал П, но только выраженный через координаты и время Действительно,

откуда и следуют равенства (1).

Рассмотрим теперь тот случай, когда вместо обычного потенциала существует обобщенный потенциал через который обобщенные силы выражаются с помощью формул

Тогда уравнения Лагранжа

снова записываются в виде (2), где теперь

Из формул (6) следует:

где обозначает сумму членов, не содержащих обобщенных ускорений

Поскольку в механике мы рассматриваем только тот случай, когда обобщенные силы не зависят явно от обобщенных ускорений, а зависят лишь от времени, координат и обобщенных скоростей

то, согласно формулам (8), в этом случае все частные производные второго порядка от V по обобщенным скоростям должны быть тождественно равны нулю, т. е. обобщенный потенциал V линейно зависит от обобщенных скоростей:

где — функции от координат и времени Но тогда, согласно равенству (7), L снова будет квадратичной функцией относительно скоростей и вместо равенств (5) будем иметь

Подставляя выражение (10) для V в формулу (6), получаем

Формулы (12) показывают, что в случае, когда линейная часть обобщенного потенциала не зависит явно от времени обобщенные силы складываются из потенциальных и гироскопических сил

где

Важность рассмотрения обобщенного потенциала подтверждается следующим примером.

Пример. На точечный электрический заряд в электромагнитном поле действует сила Лоренца

где V — скорость точки, — заряд, с — величина скорости света, а Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей. Векторы Е и Н выражаются через скалярный потенциал у и векторный А с помощью формул

Найдем обобщенный потенциал V для силы Лоренца

Из формул (14) и (15) находим

где скорость в выражении считается вектором, не зависящим от точки поля.

Отсюда, выбирая в качестве независимых координат декартовы координаты точки х, у, z и полагая

т. е.

имеем:

Аналогичные формулы имеют место для Таким образом, обобщенный потенциал силы. Лоренца (14) определяется формулой (17). Для функции Лагранжа имеем выражение

Классические системы, в которых силы имеют обычный потенциал или обобщенный потенциал мы будем называть натуральными. Для таких систем функция Лагранжа является функцией второй степени от обобщенных скоростей, т. е. представляется выражением (4), где — положительно определенная квадратичная форма относительно обобщенных скоростей.

В качестве примера ненатуральной системы можно рассмотреть движение материальной точки в релятивистской теории при отсутствии силового поля. В этом случае движение точки определяется уравнениями Лагранжа, в которых

где а с — величина скорости света. Здесь уже не является функцией второй степени относительно скоростей

Если в выражении для функции разложить в ряд по степеням у и отбросить члены второго и более высокого порядка относительно т. е. положить — то получится «классическое» выражение функции Лагранжа для изолированной материальной точки, а именно:

В этой и следующей главах мы будем вести изложение для систем общего типа, движение которых определяется уравнениями Лагранжа (2) с произвольной функцией . Мы будем лишь предполагать, что гессиан функции относительно обобщенных скоростей не равен тождественно нулю:

Уравнения (2) в развернутом виде могут быть записаны так:

где через мы обозначили сумму членов, не содержащих обобщенных ускорений . Поскольку определитель системы линейных (относительно ) уравнений (20) отличен от нуля [см. неравенство (19)], то систему (20) можно разрешить относительно обобщенных ускорений и записать в виде

Поэтому сделанный в § 7 вывод об однозначном определении движения системы путем задания начальных данных справедлив не только для натуральных систем, но и для рассматриваемых здесь систем более общего типа.