§ 21. Движения по инерции. Связь с геодезическими линиями при произвольном движении консервативной системы
Пусть дана произвольная склерономная система; ее кинетическая энергия равна
Введем метрику в координатном пространстве 
определив квадрат длины дуги 
с помощью положительно определенной квадратичной дифференциальной формы
Тогда величина дуги кривой, соединяющей две точки координатного пространства 
опредёлитсй равенством
Сопоставляя формулы (1) и (2), найдем, что при Дйижёнйй системы
т. е. что кинетическая энергия системы [при Метрике (2)] всегда совпадает с кинетической энергией изображающей точки в 
-мерном координатном пространстве, если этой точке приписать массу 
Рассмотрим теперь движение системы по инерции 
Тогда все возможные при таком движении траектории изображающей точки носят название геодезических линий [По отношению к метрике (2)]. Из интеграла энергии
согласно формуле (4), следует, что
т. е. движению по инерции (а также любому Движению с Постоянным значением 
кинетической энергии) соответствует в координатном пространстве 
равномерное движение изображающей точки со скоростью 
В соответствии с принципом наименьшего действия геодезические линии являются экстремалями вариационной задачи
где действие по Лагранжу. Но в рассматриваемом случае как для прямого, так и для окольного пути имеет место интеграл энергии 
с фиксированным значением 
; поэтому
где 
- длина кривой в координатном пространстве 
Вариационная задача (6) принимает вид
Таким образом, геодезическая линия характеризуется тем, что длина дуга этой кривой имеет экстремальное (точнее, стационарное) значение по сравнению с дугами других кривых, имеющими с геодезической одни и те же концы (см. рис. 35 на стр. 131).
В случае, когда для прямого пути действие по Лагранжу имеет минимум, длина дуги геодезической меньше длины любой другой кривой, соединяющей те же точки, что и дуга геодезической.
Поэтому геодезические линии называются ткже крцтчцйшими линиями в пространстве.
Рассмотрим теперь консервативную систему, т. е. склерономную систему с не зависящей явно от 
потенциальной энергией 
Тогда, согласно формулам (15) и (19) предыдущего параграфа,
Поэтому движение консервативной систему с данным значением полной энергии 
осуществляется в координатном пространстве вдоль экстремали вариационной задачи (с закрепленными концами)
Сопоставляя формулу (10) с формулой (8), заключаем, что для консервативной системы траектории прямых путей являются геодезическими линиями в координатном пространстве с метрикой
