§ 5. Голономные системы. Независимые координаты. Обобщенные силы

Пусть дана голономная система из материальных точек с радиусами-векторами подчиненная конечным связям

или (в эквивалентной записи)

Мы будем предполагать, что функций от аргументов независимы; здесь рассматривается как параметр. Поэтому мы можем из уравнений выразить координат как функции -остальных и времени и рассматривать эти координат как независимые величины, определяющие положение системы в момент времени

Однако не обязательно в качестве таких независимых координат брать декартовы координаты. Можно все декартовых координат выразить в виде функций от независимых параметров и от

Эти функции, будучи подставлены в уравнения связей (1), обращают последние в тождества. Кроме того, мы будем предполагать, что любое положение системы, совместимое со связями в данный момент времени, может быть получено из равенств (2) при некоторых значениях величин

Равенства (2) эквивалентны векторным равенствам

Скалярные функции (2), а следовательно, и векторные функции (2) предполагаются непрерывными и дифференцируемыми.

Минимальное число величин с помощью которых формулами (2) можно охватить все возможные положения голономной системы, совпадает с числом степеней свободы этой системы (см. стр. 19).

Величины в формулах (2) или — число степеней свободы) называются независимыми обобщенными координатами системы.

Для каждого момента времени между возможными положениями системы и точками некоторой области в -мерном координатном пространстве устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Каждому положению системы в момент времени соответствует точка в пространстве изображающая это положение системы. Движению системы соответствует движение точки в координатном пространстве

Если все связи стационарны (склерономная то время не входит явно в уравнения (1). Тогда всегда можно выбрать так координаты чтобы и в уравнения (2) время не входило.

Рис. 19.

В дальнейшем предполагается, что для склерономной системы независимые координаты выбраны именно таким образом. Тогда для склерономной системы формулы (2) и (2) принимают вид

или

Примеры. 1. Двойной маятник (рис. 19), движущийся в плоскости, имеет две степени свободы. В качестве независимых координат можно взять углы

2. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. В качестве независимых координат можно взять три координаты какой-либо точки А тела и три угла Эйлера

определяющие поворот системы осей неизменно связанной с телом, относительно неподвижной системы осей координат

Углы Эйлера определяются следующим образом (рис, 20). Проводим через точку А оси параллельные и одинаково направленные с осями Линия пересечения плоскостей называется линией узлов. Тогда в — «угол нутации» — угол между осями и прецессии» — угол между осями «угол чистого вращения», образованный осями и

Тремя параллельными сдвигами — вдоль осей соответственно на триэдр осей переходит в положение Тремя последовательными поворотами — на угол вокруг оси на угол вокруг оси и на угол вокруг оси - триэдр переводится в положение

Рис. 20.

Таким образом, величины определяют положение триэдра осей относительно триэдра т. е. определяют положение данного твердого тела относительно исходной системы осей координат.

Возьмем произвольную точку твердого тела. Она определяется заданием ее координат . Тогда координаты х, у, z этой точки могут быть представлены как функции величин Так, например, из рис. 20 легко усмотреть, что

Аналогичные, несколько более сложные формулы имеют место для х и у. Эти формулы представляют собой частный случай формул (2). Они не содержат явно Свободное твердое тело является склерономной системой.

Заметим, что при движении твердого тела величины а меняются и приведенное выше разложение перехода от к на три параллельных сдвига и три поворота дает представление произвольного движения твердого тела в виде сложного (составного) движения, состоящего из шести простых движений: трех поступательных (вдоль осей и трех чисто вращательных (вокруг осей ). Поскольку угловая скорость в сложном движении равна векторной сумме слагаемых угловых скоростей, то

где направлены соответственно вдоль осей причем

3. Свободная материальная точка М имеет три степени свободы. В качестве независимых координат можно взять декартовы или какие-либо другие координаты точки.

Рис. 21.

Рис. 22.

В случае, когда в качестве берутся цилиндрические координаты формулы (2) выглядят так (рис. 21):

В случае сферических координат (рис. 22) вместо формул (5) имеем

4. Несвободная материальная точка М находится на подвижной сфере

Тогда и в качестве независимых координат можно использовать «долготу» и «широту» на сфере (рис. 23):

Каждой координате соответствует своя обобщенная сила . Обобщенные силы определяются следующим образом. Рассмотрим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях

Рис. 23.

Но виртуальными перемещениями являются виртуальные дифференциалы [т. е. дифференциалы при фиксированном («замороженном») t] от функции

Подставим выражения (8) в правую часть формулы (7) и выразим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях через произвольные элементарные

приращения независимых координат

где коэффициенты при «обобщенные силы — определяются равенствами

Заметим, что на практике при нахождении величины далеко не всегда пользуются формулой (10); вместо этого системе дают такое элементарное виртуальное перемещение, при котором только координата получает некоторое приращение, а остальные независимые координаты не изменяются. После этого вычисляют работу активных сил на таком специально выбранном перемещении. Тогда и

Примеры. 5. Твердое тело может двигаться только поступательно вдоль оси х. Тогда и в качестве независимой координаты можно взять абсциссу х какой-либо точки тела А. При этом

где - сумма проекций на ось х всех активных сил, действующих на тело. Очевидно, что X и есть обобщенная сила для координаты х:

6. Твердое тело может только вращаться вокруг некоторой неподвижной оси и. Соответствующий угол поворота может быть взят в качестве независимой координаты. Тогда

где - суммарный момент всех активных сил относительно оси вращения и

7. Свободное твердое тело. В качестве независимых координат возьмем три координаты какой-либо точки А тела и три угла Эйлера (см. пример 2 на стр. 41—42). Тогда, согласно равенству (9),

Для определения сообщим телу элементарное перемещение вдоль оси х. Тогда Поэтому Сопоставление с равенством дает

Аналогично Здесь X, Y, Z — проекции на неподвижные оси х, у, z главного вектора всех активных сил, действующих на тело.

Дадим теперь нашему телу такое элементарное перемещение, при котором изменяется только угол а величины остаются неизменными. Тогда

С другой стороны, рассматриваемое элементарное перемещение тела представляет собой поворот вокруг оси Поэтому в соответствии с формулой (13)

где —суммарный момент всех активных сил относительно оси вокруг которой совершается поворот на угол

Совершенно аналогично где и — суммарные моменты активных сил относительно осей и

К тем же выражениям для обобщенных сил можно прийти, если воспользоваться выражением для элементарной работы активных сил, приложенных к твердому телу (см. стр. 32):

Здесь и - главный вектор и главный момент системы сил относительно полюса А. Поскольку [см. формулу (4)] где и проекции вектора на направления векторов равны соответственно из формулы (16) находим

Сопоставление выражений (17) и (15) дает нам выражения для обобщенных сил.

Пусть теперь некоторое положение системы является положением равновесия. Согласно принципу виртуальных перемещений это возможно тогда и только тогда, когда

Но приращения независимых координат могут быть совершенно произвольными. Поэтому равенство (18) эквивалентно системе равенств

Таким образом, положение голономной системы является положением равновесия в том и только в том случае, когда в этом положении все обобщенные силы равны нулю.

Примеры. 8. В соответствии с равенствами (19) условия равновесия свободного твердого тела запишутся так:

(см. предыдущий пример). Здесь X, Y, Z - проекции на оси координат главного вектора внешних сил, действующих на тело, — проекции главного момента этих сил на три некомпланарных направления. Поэтому скалярные равенства (20) эквивалентны двум векторным:

Это необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела, которые уже были установлены на стр. 32.