Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Голономные системы. Независимые координаты. Обобщенные силыПусть дана голономная система из
или (в эквивалентной записи)
Мы будем предполагать, что Однако не обязательно в качестве таких независимых координат брать декартовы координаты. Можно все
Эти функции, будучи подставлены в уравнения связей (1), обращают последние в тождества. Кроме того, мы будем предполагать, что любое положение системы, совместимое со связями в данный момент времени, может быть получено из равенств (2) при некоторых значениях величин Равенства (2) эквивалентны векторным равенствам
Скалярные функции (2), а следовательно, и векторные функции (2) предполагаются непрерывными и дифференцируемыми. Минимальное число величин Величины Для каждого момента времени Если все связи стационарны (склерономная
Рис. 19. В дальнейшем предполагается, что для склерономной системы независимые координаты
или
Примеры. 1. Двойной маятник (рис. 19), движущийся в плоскости, имеет две степени свободы. В качестве независимых координат 2. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. В качестве независимых координат можно взять три координаты определяющие поворот системы осей Углы Эйлера определяются следующим образом (рис, 20). Проводим через точку А оси Тремя параллельными сдвигами — вдоль осей
Рис. 20. Таким образом, величины Возьмем произвольную точку твердого тела. Она определяется заданием ее координат
Аналогичные, несколько более сложные формулы имеют место для х и у. Эти формулы представляют собой частный случай формул (2). Они не содержат явно Заметим, что при движении твердого тела величины
где 3. Свободная материальная точка М имеет три степени свободы. В качестве независимых координат можно взять декартовы или какие-либо другие координаты точки.
Рис. 21.
Рис. 22. В случае, когда в качестве
В случае сферических координат
4. Несвободная материальная точка М находится на подвижной сфере
Тогда
Каждой координате
Рис. 23. Но виртуальными перемещениями
Подставим выражения (8) в правую часть формулы (7) и выразим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях через произвольные элементарные приращения
где коэффициенты при
Заметим, что на практике при нахождении величины
Примеры. 5. Твердое тело может двигаться только поступательно вдоль оси х. Тогда
где
6. Твердое тело может только вращаться вокруг некоторой неподвижной оси и. Соответствующий угол поворота
где
7. Свободное твердое тело. В качестве независимых координат возьмем три координаты
Для определения
Аналогично Дадим теперь нашему телу такое элементарное перемещение, при котором изменяется только угол
С другой стороны, рассматриваемое элементарное перемещение тела представляет собой поворот вокруг оси
где —суммарный момент всех активных сил относительно оси Совершенно аналогично К тем же выражениям для обобщенных сил можно прийти, если воспользоваться выражением для элементарной работы активных сил, приложенных к твердому телу (см. стр. 32):
Здесь
Сопоставление выражений (17) и (15) дает нам выражения для обобщенных сил. Пусть теперь некоторое положение системы является положением равновесия. Согласно принципу виртуальных перемещений это возможно тогда и только тогда, когда
Но приращения
Таким образом, положение голономной системы является положением равновесия в том и только в том случае, когда в этом положении все обобщенные силы равны нулю. Примеры. 8. В соответствии с равенствами (19) условия равновесия свободного твердого тела запишутся так:
(см. предыдущий пример). Здесь X, Y, Z - проекции на оси координат главного вектора
Это необходимые и достаточные условия равновесия свободного твердого тела, которые уже были установлены на стр. 32.
|
1 |
Оглавление
|