Введем в рассмотрение специальную матрицу порядка 
где Е — единичная матрица 
порядка. Рассматривая наряду с матрицей М. транспонированную матрицу М, составим произведение 
и докажем, что в силу соотношений (12) предыдущего параграфа это произведение тождественно равно 
где с — валентность канонического преобразования.
Действительно,
Но
Проведя аналогичные вычисления для остальных трех блоков, получим
что и требовалось доказать.
Для унивалентного канонического преобразования равенство (3) записывается так:
Матрицы М, для которых справедливо равенство (4), называются симплектическими. Поскольку 
, а определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей, то из (4) находим
Таким образом, симплектические матрицы являются неособенными.
Матрицу М, удовлетворяющую соотношениям (3), будем называть обобщенно-симплектической (с валентностью с).
Так как соотношения (12) предыдущего параграфа свелись к условию обобщенной симплектичности якобиевой матрицы М, то критерий каноничности преобразования может быть сформулирован так:
Для того чтобы некоторое преобразование 
было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая этому преобразованию якобиева матрица М была обобщенно-симплектической с постоянной валентностью с. (В случае унивалентного преобразования матрица М является обыкновенной симплектической.) При этом условие симплектичности (3) должно выполняться тождественно относительно всех переменных 
В § 26 было установлено, что движение любой гамильтоновой системы может рассматриваться как свободное унивалентное каноническое преобразование. Следовательно, его якобиева матрица симплектична и ее определитель 
(см. стр. 142—143) равен 
Поскольку в начальный момент 
то 
во все последующие моменты времени, но именно этот определитель
служит подынтегральной функцией в выражении для фазового объема в 
-мерном пространстве (формула (3) § 23).
Это замечание может рассматриваться как отличное от проведенного в § 23 доказательство теоремы Лиувилля.
— якобиева матрица 
порядка 
Аналогично определяются якобиевы матрицы 
порядка и
