Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 36. Условная устойчивость. Общая постановка вопроса. Устойчивость движения или произвольного процесса. Теорема ЛяпуноваВ неравенствах (1) и (2) на стр. 190, определявших устойчивость положения равновесия, фигурировали все отклонения
При этом предполагается, что все функции (1) обращаются в нуль при
и удовлетворяют автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
где
Состоянию равновесия отвечает нулевое решение
С математической точки зрения речь идет об устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2), причем эта устойчивость определяется так: для любого
коль скоро
Для геометрической интерпретации неравенств (5) и (6) используются
если только
Если исследуется устойчивость положения равновесия (не условная!), то в качестве
Рассмотрим два важных частных случая системы уравнений (2), которые часто встречаются в приложениях. 1°. Стационарный случай, когда
2°. Периодический случай, когда правые части
В этих случаях устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2) определяется с помощью теоремы, являющейся непосредственным обобщением теоремы, приведенной в конце § 35. Теорема Ляпунова. Если в стационарном или в периодическом случае существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка в области (3) функция Доказательство этой теоремы достаточно провести для периодического случая, так как стационарный случай можно рассматривать как частный случай периодического с любым т. Доказательство состоит в повторении рассуждений, приведенных ранее при доказательстве теоремы Лагранжа и теоремы об асимптотической устойчивости со следующими изменениями; вместо Е теперь используется разность
а вместо пространства Заметим, что в общем (нестационарном и непериодическом) случае на функцию Ляпунова нужно наложить более жесткие условия. Отметим один частный случай теоремы Ляпунова, который часто используется в качестве критерия простой (неасимптотической) устойчивости. Пусть функция Следствие. Если система дифференциальных уравнений (2) имеет интеграл Заметим, что при доказательстве теоремы Лагранжа для консервативной системы используется интеграл энергии Е. Рассмотрим теперь движения или более общие процессы, описываемые системой дифференциальных уравнений первого порядка:
где правые части — непрерывные функции в некоторой области изменения переменных условиям существования и единственности решения по заданным начальным данным Пусть
Тогда в новых переменных система дифференциальных уравнений (10) запишется в виде системы (2), где
Решению Пример. Рассмотрим вращение по инерции твердого тела имеющего неподвижную точку О. Динамические уравнения Эйлера в этом случае имеют вид
Здесь Уравнения (13) допускают следующие три частных решения, определяющих перманентные вращения тела относительно главных осей:
Мы ограничимся выяснением устойчивости вращения Г, поскольку 2° и 3° могут быть записаны в виде Г при другом обозначении осей. При этом устойчивость решения 1° уравнений Эйлера (13) будет определять условную устойчивость вращения Г относительно угловой скорости Составим уравнения в отклонениях, положив
Пусть вдоль оси
где знак Функция V обращается в нуль при Можно было бы показать, что перманентное вращение относительно средней оси эллипсоида инерции неустойчиво, но для этого следовало бы воспользоваться критерием неустойчивости Четаева. 2. Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости вращательного движения снаряда. Примем для упрощения задачи, что центр тяжести снаряда С движется прямолинейно вдоль горизонтальной оси х с постоянной скоростью
где
Рис. 46. Обозначая через А аксиальный, а через В экваториальный момент инерции снаряда, получаем для кинетической энергии выражение
Будем считать, что помимо силы тяжести к снаряду приложена в точке
поэтому в качестве потенциала сил можно принять функцию
Колебания оси снаряда характеризуются изменением углов
Первый интеграл представляет собой интеграл энергии;
Комбинируя первые два интеграла с третьим и используя полученные выражения для
Будем искать знакоопределенную линейную комбинацию интегралов движения
тогда
Для того чтобы каждое из выражений в квадратных скобка было положительно определенным, достаточно, чтобы выполнялось неравенство
Сокращая на В и преобразуя, получаем
Для того чтобы последнее неравенство имело место при некотором вещественном X, нужно, чтобы квадратный трехчлен в левой части этого неравенства имел вещественные корни, т. е. должно иметь место неравенство
Это и есть условие, обеспечивающее устойчивость вращательного движения снаряда (при «отклонениях»
|
1 |
Оглавление
|