§ 36. Условная устойчивость. Общая постановка вопроса. Устойчивость движения или произвольного процесса. Теорема Ляпунова

В неравенствах (1) и (2) на стр. 190, определявших устойчивость положения равновесия, фигурировали все отклонения и все обобщенные скорости Однако во многих вопросах мы встречаемся с условной устойчивостью, когда указанные неравенства выполняются для некоторых из величин или в более общей постановке для некоторых функций от этих величин:

При этом предполагается, что все функции (1) обращаются в нуль при

и удовлетворяют автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

где непрерывные функции в области

— фиксированный начальный момент времени).

Состоянию равновесия отвечает нулевое решение системы дифференциальных уравнений (2). Наличие такого решения предполагает, что правые части уравнений (2) удовлетворяют условию

С математической точки зрения речь идет об устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2), причем эта устойчивость определяется так: для любого существует такое что при любом

коль скоро

Для геометрической интерпретации неравенств (5) и (6) используются и -окрестности начала координат в -мерном пространстве . В случае асимптотической устойчивости дополнительно требуется существование такого что

если только

Если исследуется устойчивость положения равновесия (не условная!), то в качестве можно взять величины или . В первом случае уравнения (2) представляют собой уравнения Лагранжа, записанные в виде системы дифференциальныхуравнений первого порядка с неизвестными функциями Во втором случае уравнениями (2) являются канонические уравнения Гамильтона

Рассмотрим два важных частных случая системы уравнений (2), которые часто встречаются в приложениях.

1°. Стационарный случай, когда не входит явно в правые части уравнений (2), т. е. когда

2°. Периодический случай, когда правые части имеют период относительно переменной

В этих случаях устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2) определяется с помощью теоремы, являющейся непосредственным обобщением теоремы, приведенной в конце § 35.

Теорема Ляпунова. Если в стационарном или в периодическом случае существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка в области (3) функция которая при любом рассматриваемом как параметр, имеет в точке строгий экстремум, в то время как в той же точке снова при любом ее производная по времени имеет экстремум противоположного типа, то нулевое решение системы (2) устойчиво. Если при этом экстремум производной V также является строгим, то нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво. При этом предполагается, что в стационарном случае функция V не зависит явно от а в периодическом эта функция периодична относительно c периодом — период правых частей уравнений (2)].

Доказательство этой теоремы достаточно провести для периодического случая, так как стационарный случай можно рассматривать как частный случай периодического с любым т. Доказательство состоит в повторении рассуждений, приведенных ранее при доказательстве теоремы Лагранжа и теоремы об асимптотической устойчивости со следующими изменениями; вместо Е теперь используется разность

а вместо пространства берется -мерное пространство Величину входящую в V, рассматриваем как параметр. В силу периодичности этот параметр можно изменять в конечном интервале Благодаря этому обстоятельству наличие в V переменной не вызывает каких-либо осложнений при доказательстве теоремы.

Заметим, что в общем (нестационарном и непериодическом) случае на функцию Ляпунова нужно наложить более жесткие условия.

Отметим один частный случай теоремы Ляпунова, который часто используется в качестве критерия простой (неасимптотической) устойчивости.

Пусть функция является интегралом системы дифференциальных уравнений (2), т. е. функция V при подстановке в нее любого решения системы (2) превращается в постоянную. В этом случае и можно считать, что функция V в точке при любом имеет максимум и минимум (конечно, нестрогий). Поэтому имеет место такое следствие из теоремы Ляпунова:

Следствие. Если система дифференциальных уравнений (2) имеет интеграл [не зависящий от в стационарном случае и периодический относительно с периодом х в периодическом случае] и этот интеграл в точке при любом фиксированном имеет строгий экстремум, то нулевое решение системы (2) устойчиво.

Заметим, что при доказательстве теоремы Лагранжа для консервативной системы используется интеграл энергии Е.

Рассмотрим теперь движения или более общие процессы, описываемые системой дифференциальных уравнений первого порядка:

где правые части — непрерывные функции в некоторой области изменения переменных при удовлетворяющие

условиям существования и единственности решения по заданным начальным данным

Пусть — решение системы уравнений (10), определяющее некоторый процесс. Для выяснения вопроса об устойчивости этого процесса введем вместо неизвестных функций новые неизвестные функции — «отклонения»

Тогда в новых переменных система дифференциальных уравнений (10) запишется в виде системы (2), где

Решению системы дифференциальных уравнений (10) в новых переменных соответствует нулевое решение системы дифференциальных уравнений (2). Это обстоятельство позволяет свести вопрос об устойчивости процесса к изученному нами вопросу об устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (2). Другими словами, решение системы (10) называется устойчивым (соответственно асимптотически устойчивым), если устойчиво (соответственно асимптотически устойчиво) нулевое решение системы уравнений в отклонениях (2) при правых частях, определяемых формулами (12). Все это открывает широкое поле для применений приведенной в этом параграфе теоремы Ляпунова. Эта теорема может быть использована не только для определения устойчивости положения равновесия, но и для определения устойчивости движения и вообще любого процесса, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пример. Рассмотрим вращение по инерции твердого тела имеющего неподвижную точку О. Динамические уравнения Эйлера в этом случае имеют вид

Здесь — проекции угловой скорости со на главные оси инерции тела — моменты инерции относительно этих осей.

Уравнения (13) допускают следующие три частных решения, определяющих перманентные вращения тела относительно главных осей:

Мы ограничимся выяснением устойчивости вращения Г, поскольку 2° и 3° могут быть записаны в виде Г при другом обозначении осей. При этом устойчивость решения 1° уравнений Эйлера (13) будет определять условную устойчивость вращения Г относительно угловой скорости

Составим уравнения в отклонениях, положив

Пусть вдоль оси исследуемого перманентного вращения расположена большая или малая ось эллипсоида инерции. Поскольку величины А, В и С обратно пропорциональны квадратам осей эллипсоида инерции, это означает, что А с В, С или . Возьмем в качестве функции Ляпунова функцию

где знак берется в случае , а знак случае

Функция V обращается в нуль при и положительна в окрестности этой точки, т. е. функция V имеет в этой точке строгий минимум. С другой стороны, как легко проверить, в силу уравнений (14), т. е. функция V является интегралом системы дифференциальных уравнений (14). Поэтому, согласно следствию из теоремы Ляпунова, перманентное вращение относительно большой или малой оси эллипсоида инерции устойчиво.

Можно было бы показать, что перманентное вращение относительно средней оси эллипсоида инерции неустойчиво, но для этого следовало бы воспользоваться критерием неустойчивости Четаева.

2. Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости вращательного движения снаряда.

Примем для упрощения задачи, что центр тяжести снаряда С движется прямолинейно вдоль горизонтальной оси х с постоянной скоростью Пусть — вертикальная плоскость стрельбы. Положение оси снаряда (оси динамической симметрии) определяется двумя углами: углом а, образованным проекцией оси на плоскость с осью и углом между (рис. 46). Последовательными поворотами на угол а и на угол триэдр осей Схуг переходит в триэдр Дополнительный поворот на угол вокруг оси переводит триэдр в триэдр осей, неизменно связанных снарядом. Поэтому угловая скорость снаряда состоит из трех составляющих:

где Проекции угловой скорости на главные оси инерции определяются формулами

Рис. 46.

Обозначая через А аксиальный, а через В экваториальный момент инерции снаряда, получаем для кинетической энергии выражение

Будем считать, что помимо силы тяжести к снаряду приложена в точке на оси снаряда (в «центре давления») сила лобового сопротивления воздуха постоянная по величине и направленная в сторону, противоположную скорости е. в отрицательном направлении оси х. Пусть — угол между осями и Тогда момент силы относительно С равен а элементарная работа силы будет

поэтому в качестве потенциала сил можно принять функцию

Колебания оси снаряда характеризуются изменением углов Для определения устойчивости вращательного движения снаряда будем исходить из трех интегралов движения:

Первый интеграл представляет собой интеграл энергии; — проекции кинетического момента на оси Постоянство при движении системы следует из того, что момент силы относительно оси равен нулю. Третий интеграл выражает постоянство обобщенного импульса соответствующего циклической координате Заметим, что (см. рис. 46)

Комбинируя первые два интеграла с третьим и используя полученные выражения для находим следующие два Интеграла движения обращающиеся в нуль при

Будем искать знакоопределенную линейную комбинацию интегралов движения Предварительно определим в члены наинизщей степени относительно малых величин

тогда

Для того чтобы каждое из выражений в квадратных скобка было положительно определенным, достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Сокращая на В и преобразуя, получаем

Для того чтобы последнее неравенство имело место при некотором вещественном X, нужно, чтобы квадратный трехчлен в левой части этого неравенства имел вещественные корни, т. е. должно иметь место неравенство

Это и есть условие, обеспечивающее устойчивость вращательного движения снаряда (при «отклонениях» ), так как при выполнении этого условия можно подобрать вещественное значение X, при котором интеграл — X будет иметь при строгий минимум, равный нулю.