§ 45. Малые колебания склерономной системы под действием сил, не зависящих явно от времени

Напишем уравнения Лагранжа для склерономной системы в случае, когда обобщенные силы зависят только от координат и скоростей:

Пусть начало координат является положением равновесия. Тогда (см. § 40) кинетическая энергия с точностью до членов третьего порядка малости относительно может быть представлена квадратичной формой с постоянными коэффициентами

где

Разложим теперь обобщенные силы в степенные ряды относительно

Так как начало координат является положением равновесия, то при нулевых координатах и скоростях все обобщенные силы должны равняться нулю, т. е.

Введем следующие обозначения:

После этого, отбрасывая в разложении (3) все члены второго и более высокого порядков малости, будем иметь:

Подставляя в уравнения Лагранжа (1) выражения (2) и (6) для кинетической энергии и для обобщенных сил, получим линейные дифференциальные уравнения движения для малых колебаний склерономной системы

Обозначим через А, В, С квадратные матрицы

а через столбец из Тогда система дифференциальных уравнений (7) в матричной записи будет выглядеть так:

Будем искать решение системы (8) вида

где и — столбец с постоянными элементами число.

Подставляя выражение (9) в матричное уравнение (8) и сокращая на еполучаем:

или в развернутой записи

Для того чтобы система (10) или (10) имела ненулевое решеиие и, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

или в развернутом виде

Уравнение (11) называется вековым уравнением для данной системы. Это алгебраическое уравнение степени относительно

Ограничимся рассмотрением только основного случая, когда все кории векового уравнения различны между собой. Каждому корню соответствует некоторое ненулевое решение системы однородных алгебраических уравнений , и, следовательно, частное решение системы дифференциальных уравнений Общее решение этой системы дифференциальных уравнений получится как линейная комбинация (с произвольными постоянными коэффициентами) этих частных решений:

Особо важным является тот случай, когда все вещественные части корней отрицательны:

В этом случае положение равновесия системы является асимптотически устойчивым не только для линеаризированной системы (8), но и для исходной нелинейной склерономной системы с дифференциальными уравнениями (1) (см. § 38).

В заключение отметим, что для консервативной системы — симметрические положительно определенные матрицы. Вековое уравнение переходит в уравнение из § 40, если положить Но, как было показано в § 40, уравнение имеет только положительные и вещественные корни. Поэтому уравнение (11) в случае консервативной системы имеет чисто мнимые корни.