§ 18. Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре — Картана)

Выведем формулу для вариации действия в общем случае, когда начальные и конечные моменты времени, так же как и начальные и конечные координаты, не фиксированы, а являются функциями параметра а:

В этом случае, дифференцируя интеграл по параметру а и интегрируя по частям, находим

С другой стороны, для вариаций конечных координат , имеем формулы

или

Отсюда

Совершенно аналогично

Подставляя выражения (4) и (5) для в выражение (2) для выражая, как обычно, через и замечая, что

получаем следующую формулу для вариации действия в общем случае:

где

В частном случае, когда для любого а соответствующий путь является прямым, т. е. когда — семейство прямых путей, интеграл в правой части равенства (6) равен нулю при любом а и формула для вариации действия принимает следующий простой вид:

Вместо расширенного координатного -мерного пространства возьмем расширенное фазовое -мериое пространство, в котором координатами точки будут величины и . В этом пространстве возьмем произвольную замкнутую кривую с уравнениями

Здесь при имеем одну и ту же точку кривой Из каждой точки кривой С, как из начальной, проведем соответствующий прямой путь. Такой путь однозначно определяется (после задания начальной точки) из системы канонических уравнений Гамильтона. Получим замкнутую трубку прямых путей (см. рис. 33, )

где

На этой трубке произвольно выберем вторую замкнутую кривую охватывающую трубку и имеющую с каждой образующей лишь одну общую точку. Уравнения кривой С, можно записать в виде

Рис. 33.

Рассмотрим действие вдоль образующей трубки от кривой до кривой

Тогда при любом а, согласно формуле (7),

Интегрируя это равенство почленно по а в пределах от до получаем

т. е.

Таким образом, установлено, что криволинейный интеграл

взятый вдоль произвольного замкнутого контура, не меняет своего значения при произвольном смещении (с деформацией) этого контура вдоль трубки прямых путей, т. е. является интегральным инвариантом. Интеграл 1 мы будем называть интегральным инвариантом Пуанкаре — Картана.

Докажем теперь обратное предложение. Пусть известно, что прямые пути определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка

Такое предположение является естественным, поскольку движение системы должно определяться однозначно по начальным данным Пусть, кроме того, дано, что интеграл Пуанкаре — Картана (12) является интегральным инвариантом по отношению к прямым путям, определяемым системой уравнений (13), т. е. что для любой трубки этих путей интеграл Пуанкаре — Картана, вычисленный вдоль охватывающего трубку замкнутого контура, не изменяет своей величины при произвольном смещении точек контура вдоль образующих трубки. Тогда мы докажем, что между функцией Н и функциями имеют место зависимости

т. е. докажем, что уравнения (13) являются каноническими уравнениями Гамильтона с той функцией Н, которая входит в выражение под знаком интеграла

Для доказательства введем вспомогательную переменную (параметр) дополнив систему (13) еще одним уравнением:

Здесь — произвольная функция от точки расширенного фазового пространства. Интегрируя систему

(15), мы находим выражения для и в виде функций от переменной и от произвольных начальных данных

Мы получили параметрические уравнения для семейства всех прямых путей. Так как нам нужны только те прямые пути, которые образуют данную трубку, то мы должны выбирать начальную точку на кривой т. е. в уравнения (16) вместо следует подставить

Сделав это, мы найдем параметрические уравнения для прямых путей, образующих данную трубку,

здесь значение выделяет определенный прямой путь («образующую» трубки), а значение параметра фиксирует определенную точку на этом прямом пути.

Полагая мы на каждой образующей получаем точку, а на трубке — замкнутую кривую. Будем считать, что в интеграле (12) вместо и подставлены их выражения (17). Тогда интеграл будет представлять собой функцию параметра и при каждом фиксированном значении будет криволинейным интегралом вдоль соответствующей замкнутой кривой

В силу инвариантности

где буква означает дифференцирование по параметру Проводя дифференцирование под знаком интеграла, находим:

Написав вместо и проинтегрировав по частям вдоль замкнутого контура, получим

или, в силу (15), разделив почленно на

Выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом при произвольном множителе и, а это возможно только тогда, когда выражение в фигурных скобках равно нулю. Приравняв это выражение нулю, получим

что и требовалось доказать.

Из доказанного следует, что инвариантность интеграла Пуанкаре — Картана может быть положена в основу

механики, так как из этой инвариантности вытекает, что движение системы подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона.

Замечание. При доказательстве мы ввели вспомогательную переменную и использовали то обстоятельство, что интеграл не меняет своего значения при переходе от одной кривой семейства к другой кривой того же семейства. Из-за произвольности функции семейство кривых по существу является произвольным семейством непересекающихся замкнутых кривых, охватывающих данную трубку прямых путей. Если мы не ввели бы параметр а приняли бы в качестве параметра время то, повторяя те же рассуждения, мы только частично использовали бы инвариантность интеграла (только для кривых из одновременных состояний и не могли бы прийти к нужному результату.

Рассмотрим теперь подробнее структуру интеграла Пуанкаре — Картана.

В интеграле Пуанкаре — Картана (12) время входит на правах координаты а роль соответствующего импульса играет величина — Н, т. е. энергия, взятая с противоположным знаком. Это — далеко идущая аналогия.

Сделаем в интеграле замену переменных, введя новую переменную связанную со старыми переменными соотношением

Из этого соотношения выразим

Тогда основной интеграл I в новых переменных запишется так:

Таким образом, и в новых переменных интеграл имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, но только теперь роль времени играет переменная а вместо прежней энергии Н стоит импульс взятый с противоположным знаком, т. е. К. Поэтому, согласно доказанному ранее, в новых переменных движение системы должно описываться следующей гамильтоновой

системой дифференциальных уравнений:

Здесь независимой переменной является

Проиллюстрируем это на примере линейного осциллятора. Для

Составим канонические уравнения, приняв за независимую переменную Для этого положим

откуда

Таким образом, в нашем случае

Соответствующие канонические уравнения (22) запишутся так:

Из второго уравнения При помощи квадратуры находим

где - произвольная постоянная, или

т. е.