Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 18. Основной интегральный инвариант механики (интегральный инвариант Пуанкаре — Картана)Выведем формулу для вариации действия
В этом случае, дифференцируя интеграл
С другой стороны, для вариаций конечных координат
или
Отсюда
Совершенно аналогично
Подставляя выражения (4) и (5) для
получаем следующую формулу для вариации действия
где
В частном случае, когда для любого а соответствующий путь является прямым, т. е. когда
Вместо расширенного координатного
Здесь при
где
На этой трубке произвольно выберем вторую замкнутую кривую
Рис. 33. Рассмотрим действие
Тогда при любом а, согласно формуле (7),
Интегрируя это равенство почленно по а в пределах от
т. е.
Таким образом, установлено, что криволинейный интеграл
взятый вдоль произвольного замкнутого контура, не меняет своего значения при произвольном смещении (с деформацией) этого контура вдоль трубки прямых путей, т. е. является интегральным инвариантом. Интеграл 1 мы будем называть интегральным инвариантом Пуанкаре — Картана. Докажем теперь обратное предложение. Пусть известно, что прямые пути определяются системой дифференциальных уравнений первого порядка
Такое предположение является естественным, поскольку движение системы должно определяться однозначно по начальным данным
т. е. докажем, что уравнения (13) являются каноническими уравнениями Гамильтона с той функцией Н, которая входит в выражение под знаком интеграла Для доказательства введем вспомогательную переменную (параметр)
Здесь (15), мы находим выражения для
Мы получили параметрические уравнения для семейства всех прямых путей. Так как нам нужны только те прямые пути, которые образуют данную трубку, то мы должны выбирать начальную точку
Сделав это, мы найдем параметрические уравнения для прямых путей, образующих данную трубку,
здесь значение Полагая В силу инвариантности
где буква
Написав
или, в силу (15), разделив почленно на
Выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом при произвольном множителе и, а это возможно только тогда, когда выражение в фигурных скобках равно нулю. Приравняв это выражение нулю, получим
что и требовалось доказать. Из доказанного следует, что инвариантность интеграла Пуанкаре — Картана может быть положена в основу механики, так как из этой инвариантности вытекает, что движение системы подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона. Замечание. При доказательстве мы ввели вспомогательную переменную Рассмотрим теперь подробнее структуру интеграла Пуанкаре — Картана. В интеграле Пуанкаре — Картана (12) время Сделаем в интеграле
Из этого соотношения выразим
Тогда основной интеграл I в новых переменных запишется так:
Таким образом, и в новых переменных интеграл системой дифференциальных уравнений:
Здесь независимой переменной является Проиллюстрируем это на примере линейного осциллятора. Для
Составим канонические уравнения, приняв за независимую переменную
откуда
Таким образом, в нашем случае
Соответствующие канонические уравнения (22) запишутся так:
Из второго уравнения
где
т. е.
|
1 |
Оглавление
|