ГЛАВА VII. СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ

§ 48. Приведенная система. Потенциал Рауса. Скрытые движения. Концепция Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии

В настоящей главе общие положения, изложенные в гл. II и в гл. V, используются для исследования движения голономной склерономной системы с циклическими координатами . Кинетическая энергия такой системы имеет вид

Найдем выражение для кинетической энергии в переменных Рауса Для этого выразим все через , используя исходные соотношения

Поскольку определитель то из соотношений (2) находим

где - обратная матрица для матрицы

Полагая

запишем соотношения (3) в следующем виде:

Здесь функции от нециклических (или, как их иногда называют, позиционных) координат Подставляя выражения (6) для в формулу (1), получаем выражение Т для кинетической энергии в переменных Рауса:

Замечательным является то обстоятельство (на него обратил внимание еще Раус), что в этой формуле все т. е. выражение Т есть сумма квадратичной формы относительно позиционных скоростей и квадратичной формы относительно обобщенных импульсов Действительно,

так как зависит только от переменных которые рассматриваются как независимые по отношению к

Вычислим теперь коэффициенты

Аналогично найдем коэффициенты

Используя равенства получаем

Но на основании равенства где — алгебраическое дополнение элемента в определителе Используя это обстоятельство, можно вместо формулы (10) написать:

Таким образом, формула (7) имеет вид

Здесь коэффициенты и определяются равенствами (4) и (10).

Пусть силы, приложенные к склерономной системе, имеют потенциал Тогда Вычислим функцию Рауса (см. § 13):

Рассмотрим функцию которую назовем потенциалом Рауса:

Пользуясь тем, что

где — алгебраическое дополнение элемента в определителе можно записать выражение для потенциала Рауса еще в следующем виде:

Кроме того, введем обозначение

Тогда, согласно равенству (12), функция которая для позиционных координат играет роль функции Лагранжа, равна

где - обобщенный потенциал, определяемый равенством

Рассмотрим теперь какое-либо движение исходной системы. В этом движении

и изменение позиционных координат может быть определено из дифференциальных уравнений (8) на стр. 95, в которых всюду следует заменить на . Но эти уравнения являются уравнениями

Лагранжа (с функцией Лагранжа для некоторой вспомогательной натуральной склерономной системы с степенями свободы, имеющей кинетическую энергию и обобщенный силовой потенциал Потенциальной энергией этой системы является потенциал Рауса Из формул (11) — (13) следует, что

Полученную вспомогательную систему будем называть приведенной системой.

Таким образом, изменение позиционных координат определяет движение приведенной системы степенями свободы) с кинетической энергией Т и обобщенным потенциалом , где П — потенциал.

Рауса. При соответствующих движениях исходной и приведенной системы полные энергии этих систем равны между собой.

Когда функции определяющие движение приведенной системы, найдены, то изменение со временем циклических координат может быть определено из формул (9) на стр. 95, которые сейчас могут быть написаны так:

Рассмотрим частный случай, когда выражение кинетической энергии исходной системы (1) не содержит произведений позиционных скоростей на циклические скорости т. е. случай, когда все . В этом случае кинетическая энергия Т распадается на две квадратичные формы, из которых одна содержит только позиционные скорости а вторая — только циклические скорости Такая система называется гироскопически несвязанной. Для гироскопически несвязанной системы, согласно формулам (5), все , следовательно, Таким образом, если исходная система является гироскопически несвязанной, то приведенная система имеет обычный потенциал П.

Кроме того, из равенств (10) следует, что для гироскопически несвязанной системы т. е.

В этом случае исходная система имеет кинетическую энергию

и потенциальную а приведенная — кинетическую энергию и потенциальную

Мы видим, что часть кинетической энергии исходной системы (у перешла в потенциальную энергию приведенной системы.

Все сказанное о склерономных системах справедливо, в частности, для консервативных систем, у которых Приведенная система для гироскопически несвязанной консервативной системы будет снова консервативной.

Пусть теперь дана произвольная консервативная система с степенями свободы, с кинетической энергией и потенциальной энергией Рассмотрим консервативную систему, у которой число степеней свободы равно и которая имеет позиционных координат и одну циклическую координату

Пусть у новой системы а кинетическая энергия имеет вид

Тогда

и

Но тогда при

Таким образом, у данной консервативной системы кинетическая и потенциальная энергии Т и , а у новой «расширенной» системы .

Потенциальная энергия данной системы получилась за счет кинетической энергии «расширенной» системы, имеющей большее число степеней свободы.

Движения, при которых изменяются только циклические (скрытые) координаты, иногда называются скрытыми движениями.

Выше мы видели, что потенциальная энергия консервативной системы всегда может быть рассматриваема как кинетическая энергия скрытых движений.

Рис. 56.

Эта концепция о кинетическом происхождении потенциальной энергии и, следовательно, о кинетическом происхождении сил, приложенных к телам, осуществляющим явные (нескрытые) движения, была широко развита Герцем в его «Принципах механики» (1894 г.).

Пример. Рассмотрим движение твердого тела с закрепленной точкой О в случае Лагранжа, когда на тело действует сила веса существует ось динамической симметрии и центр тяжести расположен на этой оси.

Положение тела будем задавать с помощью трех углов Эйлера , где угол нутации — угол между вертикальной осью и осью динамической симметрии (рис. 56), — угол прецессии, а — угол чистого вращения. Пусть , а А и С — экваториальный и аксиальный моменты инерции соответственно. Тогда

где — проекции угловой скорости на главные оси инерции Но

Поэтому окончательно

Найдем выражения для обобщенных импульсов соответствующих циклическим координатам

Разрешив эти соотношения относительно получим

Коэффициенты при и в правых частях равенств (23) и представляют собой величины Выражение для кинетической энергии в переменных Рауса получаем, подставляя выражения (23) для в выражение (21) для или сразу по формуле (II):

При движении системы импульсы сохраняют постоянные значения

Нутационное движение определяется приведенной системой, для которой

Изменение угла нутации находится из соответствующего интеграла энергии

Введем вспомогательную переменную Умножая обе части равенства (27) на находим

где — многочлен третьей степени относительно и:

Полагая в этом выражении находим

Тогда многочлен имеет три вещественных корня :

и [поскольку ] график многочлена имеет такой вид, как показано на рис. 57.

Рис. 57.

Рис. 68.

Так как при движении тела , то величина должна изменяться в интервале Угловая скорость прецессии определяется из первой формулы (23):

Если отношение находится вне интервала то скорость прецессии сохраняет постоянный знак и прецессионное движение происходит все время в одном направлении. В этом случае след, оставленный осью на неподвижной сфере с центром в О, описывает кривую, изображенную на рис. 58.

Если же то скорость прецессии меняет знак при и след динамической оси описывает на сфере кривую, показанную на рис. 59.

Если то скорость прецессии не меняет знака, но обращается в нуль на верхней параллели (рис. 60).

Рис. 59.

Рис. 60.

Аналитически изменение угла нутации определяется из формул

Здесь знак берется при изменении от значения до значения и знак — при изменении в обратном направлении. Очевидно, изменение угла во времени будет периодической функцией с периодом

После того как изменение угла нутации найдено, изменения углов 41 и определяются по формулам (23).

Рассмотрим теперь движение твердого тела, проходящее через «особое» положение . В этой точке кинетическая энергия задается вырожденной квадратичной формой [см. выражение (21) при ]

Согласно формулам (22) в особой точке должно иметь место равенство т. е.

Предполагая, что произвольные постоянные связаны соотношением (34), мы легко раскрываем неопределенность в выражении (26) для потенциала Рауса:

После этого нутационное движение снова определяется из интеграла энергии

Если движение проходит через «особое» положение то вместо (34) имеем соотношение

и выражение для потенциала Рауса принимает вид

В рассмотренных двух «особых» случаях верхняя или соответственно нижняя параллель на рис. 58—60 вырождается в точку.