§ 32. Инвариантность скобок Пуассона при каноническом преобразовании

Представим условие каноничности преобразования, записанное в форме равенства (3) предыдущего параграфа, в несколько измененной форме. Умножим обе части этого равенства слева на а справа — на Получим:

Возьмем обратные матрицы от обеих частей этого равенства, замечая, что

Равенство получается из равенства путем замены якобиевой матрицы М транспонированной матрицей М.

Но эта замена [см. формулу (1) § 31] сводится к замене производных соответственно на производные в каждой производной меняются местами буквы и индексы, стоящие вверху и внизу. Поэтому, если равенство было эквивалентно системе равенств

то равенство (2) будет эквивалентно системе равенств

где значок указывает, что внутри скобки Лагранжа следует произвести указанную выше замену производных. Но тогда скобки Лагранжа переходят в скобки Пуассона. Действительно,

где скобки Пуассона для функций и относительно независимых переменных Совершенно аналогично

Поэтому условия каноничности преобразования (4) могут быть записаны с помощью скобок Пуассона в следующем виде:

Рассмотрим теперь две функции от величин и Выражая в этих функциях через с помощью обратного канонического преобразования, мы можем рассматривать эти же функции как функции переменных . Соответственно скобки Пуассона от можно вычислить как по отношению к переменным [обозначение ], так и по отношению к переменным [обозначение

Докажем справедливость тождества

Доказательство этого тождества опирается на известное выражение якобиана от системы сложных функций

Просуммировав почленно эти тождества, получим

Согласно равенствам (5) отсюда находим

Справедливо и обратное утверждение. Если для любых двух функций выполняется тождество (7) при одной и той же постоянной то переход от переменных переменным осуществляется каноническим преобразованием с валентностью с.

Для унивалентного канонического преобразования и потому

Другими словами, скобки Пуассона инвариантны, относительно унивалентных канонических преобразований. Это свойство унивалентных канонических преобразований выделяет эти преобразования среди всех возможных преобразований фазового пространства.