§ 32. Инвариантность скобок Пуассона при каноническом преобразовании
Представим условие каноничности преобразования, записанное в форме равенства (3) предыдущего параграфа, в несколько измененной форме. Умножим обе части этого равенства слева на
а справа — на
Получим:
Возьмем обратные матрицы от обеих частей этого равенства, замечая, что
Равенство
получается из равенства
путем замены якобиевой матрицы М транспонированной матрицей М.
Но эта замена [см. формулу (1) § 31] сводится к замене производных
соответственно на производные
в каждой производной меняются местами буквы и индексы, стоящие вверху и внизу. Поэтому, если равенство
было эквивалентно системе равенств
то равенство (2) будет эквивалентно системе равенств
где значок указывает, что внутри скобки Лагранжа следует произвести указанную выше замену производных. Но тогда скобки Лагранжа переходят в скобки Пуассона. Действительно,