Главная > Лекции по аналитической механике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода

Для материальных точек несвободной системы имеют место уравнения

где — масса точки, — ее ускорение, — соответственно равнодействующая активных сил и равнодействующая сил реакций, действующих на эту точку Поскольку связи идеальны, то в любом положении системы при любых виртуальных перемещениях

Подставляя сюда вместо реакций их выражения из уравнений (1) и умножая обе части полученного равенства на — 1, получаем

Равенство (3) называется общим уравнением динамики. Это равенство утверждает, что при движении системы в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю.

Таким образом, общее уравнение динамики всегда выполняется для любого совместимого со связями движения, соответствующего заданным активным силам

Пусть теперь, наоборот, дано некоторое совместимое со связями движение системы, для которого выполняется общее уравнение динамики (3); Тогда, полагая

будем иметь равенства (1) и (2). Таким образом, в любой момент времени можно подобрать такие реакции которые в силу равенства (2) были бы допустимыми для данных связей и при которых имеют место полученные из второго закона Ньютона уравнения (1). Мы считаем, что эти реакции в действительности реализуются («гипотеза о реализации допустимых реакций») и что, следовательно, рассматриваемое движение соответствует данным активным силам . Таким образом, общее уравнение динамики выражает необходимое и достаточное условие для того, чтобы движение, совместимое со связями, соответствовало заданной системе активных сил

Найдем выражения для реакций с помощью так называемых неопределенных множителей Лагранжа. Выпишем соотношения, определяющие виртуальные перемещения точек

системы (см. § 2):

Умножая почленно равенства (4) и (5) на произвольные скалярные множители и складывая почленно полученные равенства с равенством (2), получаем:

В развернутом виде это соотношение запишется так:

Здесь мы через сокращенно обозначили выражения, которые отличаются от выписанного в формуле (6) коэффициента при заменой букв или на соответственно.

Соотношения (7) § 2 позволяют выразить из виртуальных приращений через остальные приращений. При этом определитель составленный из коэффициентов при «зависимых» приращениях в уравнениях (7) § 2, отличен от нуля.

Подберем множителей так, чтобы в равенстве (6) коэффициенты при «зависимых» приращениях обратились в нуль. Это можно сделать, и притом единственным образом, ибо определитель из коэффициентов при определяемых величинах не равен нулю. После этого в равенстве (6) остаются только слагаемые с независимыми приращениями Но тогда и коэффициенты при этих независимых приращениях также должны быть равны нулю.

Иначе говоря, неопределенные множители и могут быть подобраны так, чтобы все скалярные коэффициенты

в равенстве (6) и, следовательно, все векторные коэффициенты в равенстве (6) обращались в нуль. Но тогда

Мы получили общее выражение для реакций идеальных связей через неопределенные множители Лагранжа

Подставляя выражения (7) для в уравнение (1), мы получим так называемые уравнения Лагранжа первого рода:

К этим уравнениям следует еще прибавить уравнения связей:

Заменяя каждое векторное уравнение тремя скалярными, мы можем считать, что уравнения (8) и (9) составляют систему из скалярных уравнений с неизвестными скалярными величинами Интегрируя эту систему, мы получаем конечные уравнения движения и одновременно из равенств (7) — величины реакций связей. Однако интегрирование такой системы обычно весьма затруднено из-за большого числа уравнений. Поэтому уравнения Лагранжа первого рода практически мало применяются.

В § 6 и § 10 мы получим уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы и уравнения Аппеля для неголономной системы; в этих уравнениях число неизвестных скалярных величин (и, следовательно, число уравнений) равно , т. е. на единиц меньше, чем в системе уравнений (8) и (9).

Пример. Две весомые материальные точки и с одинаковой массой соединены стержнем неизменной длины с пренебрежимо малой массой. Система может двигаться только в вертикальной плоскости и только так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек

Пусть — координаты точек и Запишем уравнения связей:

Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями имеют вид

и

Из уравнений (II) с учетом первого уравнения (10) определим X и

Заметим, что уравнения (12) получаются из уравнений (11), если в последних заменить на и на Поэтому, определяя X и из уравнений (12), находим

Приравняв между собой соответствующие выражения для в формулах (13) и (14), после элементарных преобразований получим

Введем сокращенные обозначения:

Тогда уравнения (10) и (15) перепишутся так:

Равенства (17) показывают, что в плоскости точка с координатами движется по кругу радиуса с центром в начале координат, причем ее ускорение все время направлено к центру. Но тогда движение этой точки будет равномерным. Поэтому

Согласно равенству (18) можно положить

Подставляя эти выражения в равенство (19) и учитывая равенства (17) и (20), найдем

Тогда

Следовательно, в силу равенств (20) и (21), имеем

Интегрируя, находим

Из равенств (16), (20) и (23) окончательно получим

( произвольные постоянные).

1
Оглавление
email@scask.ru