§ 3. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода

Для материальных точек несвободной системы имеют место уравнения

где — масса точки, — ее ускорение, — соответственно равнодействующая активных сил и равнодействующая сил реакций, действующих на эту точку Поскольку связи идеальны, то в любом положении системы при любых виртуальных перемещениях

Подставляя сюда вместо реакций их выражения из уравнений (1) и умножая обе части полученного равенства на — 1, получаем

Равенство (3) называется общим уравнением динамики. Это равенство утверждает, что при движении системы в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю.

Таким образом, общее уравнение динамики всегда выполняется для любого совместимого со связями движения, соответствующего заданным активным силам

Пусть теперь, наоборот, дано некоторое совместимое со связями движение системы, для которого выполняется общее уравнение динамики (3); Тогда, полагая

будем иметь равенства (1) и (2). Таким образом, в любой момент времени можно подобрать такие реакции которые в силу равенства (2) были бы допустимыми для данных связей и при которых имеют место полученные из второго закона Ньютона уравнения (1). Мы считаем, что эти реакции в действительности реализуются («гипотеза о реализации допустимых реакций») и что, следовательно, рассматриваемое движение соответствует данным активным силам . Таким образом, общее уравнение динамики выражает необходимое и достаточное условие для того, чтобы движение, совместимое со связями, соответствовало заданной системе активных сил

Найдем выражения для реакций с помощью так называемых неопределенных множителей Лагранжа. Выпишем соотношения, определяющие виртуальные перемещения точек

системы (см. § 2):

Умножая почленно равенства (4) и (5) на произвольные скалярные множители и складывая почленно полученные равенства с равенством (2), получаем:

В развернутом виде это соотношение запишется так:

Здесь мы через сокращенно обозначили выражения, которые отличаются от выписанного в формуле (6) коэффициента при заменой букв или на соответственно.

Соотношения (7) § 2 позволяют выразить из виртуальных приращений через остальные приращений. При этом определитель составленный из коэффициентов при «зависимых» приращениях в уравнениях (7) § 2, отличен от нуля.

Подберем множителей так, чтобы в равенстве (6) коэффициенты при «зависимых» приращениях обратились в нуль. Это можно сделать, и притом единственным образом, ибо определитель из коэффициентов при определяемых величинах не равен нулю. После этого в равенстве (6) остаются только слагаемые с независимыми приращениями Но тогда и коэффициенты при этих независимых приращениях также должны быть равны нулю.

Иначе говоря, неопределенные множители и могут быть подобраны так, чтобы все скалярные коэффициенты

в равенстве (6) и, следовательно, все векторные коэффициенты в равенстве (6) обращались в нуль. Но тогда

Мы получили общее выражение для реакций идеальных связей через неопределенные множители Лагранжа

Подставляя выражения (7) для в уравнение (1), мы получим так называемые уравнения Лагранжа первого рода:

К этим уравнениям следует еще прибавить уравнения связей:

Заменяя каждое векторное уравнение тремя скалярными, мы можем считать, что уравнения (8) и (9) составляют систему из скалярных уравнений с неизвестными скалярными величинами Интегрируя эту систему, мы получаем конечные уравнения движения и одновременно из равенств (7) — величины реакций связей. Однако интегрирование такой системы обычно весьма затруднено из-за большого числа уравнений. Поэтому уравнения Лагранжа первого рода практически мало применяются.

В § 6 и § 10 мы получим уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы и уравнения Аппеля для неголономной системы; в этих уравнениях число неизвестных скалярных величин (и, следовательно, число уравнений) равно , т. е. на единиц меньше, чем в системе уравнений (8) и (9).

Пример. Две весомые материальные точки и с одинаковой массой соединены стержнем неизменной длины с пренебрежимо малой массой. Система может двигаться только в вертикальной плоскости и только так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек

Пусть — координаты точек и Запишем уравнения связей:

Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями имеют вид

и

Из уравнений (II) с учетом первого уравнения (10) определим X и

Заметим, что уравнения (12) получаются из уравнений (11), если в последних заменить на и на Поэтому, определяя X и из уравнений (12), находим

Приравняв между собой соответствующие выражения для в формулах (13) и (14), после элементарных преобразований получим

Введем сокращенные обозначения:

Тогда уравнения (10) и (15) перепишутся так:

Равенства (17) показывают, что в плоскости точка с координатами движется по кругу радиуса с центром в начале координат, причем ее ускорение все время направлено к центру. Но тогда движение этой точки будет равномерным. Поэтому

Согласно равенству (18) можно положить

Подставляя эти выражения в равенство (19) и учитывая равенства (17) и (20), найдем

Тогда

Следовательно, в силу равенств (20) и (21), имеем

Интегрируя, находим

Из равенств (16), (20) и (23) окончательно получим

( произвольные постоянные).