Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого родаДля материальных точек несвободной системы имеют место уравнения
где
Подставляя сюда вместо реакций их выражения из уравнений (1) и умножая обе части полученного равенства на — 1, получаем
Равенство (3) называется общим уравнением динамики. Это равенство утверждает, что при движении системы в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю. Таким образом, общее уравнение динамики всегда выполняется для любого совместимого со связями движения, соответствующего заданным активным силам Пусть теперь, наоборот, дано некоторое совместимое со связями движение системы, для которого выполняется общее уравнение динамики (3); Тогда, полагая
будем иметь равенства (1) и (2). Таким образом, в любой момент времени можно подобрать такие реакции которые в силу равенства (2) были бы допустимыми для данных связей и при которых имеют место полученные из второго закона Ньютона уравнения (1). Мы считаем, что эти реакции в действительности реализуются («гипотеза о реализации допустимых реакций») и что, следовательно, рассматриваемое движение соответствует данным активным силам Найдем выражения для реакций с помощью так называемых неопределенных множителей Лагранжа. Выпишем соотношения, определяющие виртуальные перемещения точек системы (см. § 2):
Умножая почленно равенства (4) и (5) на произвольные скалярные множители
В развернутом виде это соотношение запишется так:
Здесь мы через Соотношения (7) § 2 позволяют выразить Подберем Иначе говоря, неопределенные множители и в равенстве (6) и, следовательно, все векторные коэффициенты в равенстве (6) обращались в нуль. Но тогда
Мы получили общее выражение для реакций идеальных связей через неопределенные множители Лагранжа Подставляя выражения (7) для в уравнение (1), мы получим так называемые уравнения Лагранжа первого рода:
К этим уравнениям следует еще прибавить уравнения связей:
Заменяя каждое векторное уравнение тремя скалярными, мы можем считать, что уравнения (8) и (9) составляют систему из В § 6 и § 10 мы получим уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы и уравнения Аппеля для неголономной системы; в этих уравнениях число неизвестных скалярных величин (и, следовательно, число уравнений) равно Пример. Две весомые материальные точки и Пусть
Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями
и
Из уравнений (II) с учетом первого уравнения (10) определим X и
Заметим, что уравнения (12) получаются из уравнений (11), если в последних заменить
Приравняв между собой соответствующие выражения для
Введем сокращенные обозначения:
Тогда уравнения (10) и (15) перепишутся так:
Равенства (17) показывают, что в плоскости
Согласно равенству (18) можно положить
Подставляя эти выражения в равенство (19) и учитывая равенства (17) и (20), найдем
Тогда
Следовательно, в силу равенств (20) и (21), имеем
Интегрируя, находим
Из равенств (16), (20) и (23) окончательно получим
(
|
1 |
Оглавление
|