§ 19. Гидродинамическая интерпретация основного интегрального инварианта. Теоремы Томсона и Гельмгольца о циркуляции и вихрях

Для конкретной интерпретации понятия об интегральном инварианте рассмотрим движение идеальной жидкости под действием внешних сил с потенциалом . Как известно из гидродинамики, уравнение движения частицы такой жидкости имеет вид

где а — ускорение частицы, — ее плотность и давление, а потенциал П отнесен к единице массы.

Примем, что связаны функциональным соотношением (это в частности имеет место при изотермическом протекании процесса). Тогда, положив

мы запишем уравнение (1) в виде

Последнее уравнение показывает, что движение частицы жидкости идентично движению материальной точки с массой в потенциальном поле . Поэтому для движения частиц жидкости интегральным инвариантом будет интеграл Пуанкаре — Картана, который в данном случае имеет вид

где — компоненты скорости частицы [они в данном случае (при ) представляют собой импульсы ], Е—энергия, определяемая формулой

Таким образом, интеграл (2), взятый вдоль произвольно замкнутого контура в семимерном пространстве , не меняет своей величины при произвольном смещении точек контура в соответствии с движением жидкости. Это движение происходит

в соответствии с дифференциальными уравнениями, которые в силу формулы имеют вид

Для данного частного случая уравнения (4) представляют собой канонические уравнения Гамильтона.

Если задано конкретное движение жидкости, при котором поле скоростей известно, т. е. если известны функции то интеграл (2) можно рассматривать как интеграл в расширенном координатном пространстве, т. е. в четырехмерном пространстве Значение этого интеграла не меняется, если мы точки контура интегрирования произвольно сместим вдоль путей движения частиц, т. е. интеграл

является интегральным инвариантом в расширенном координатном пространстве для движения жидкости с заданным полем скоростей.

Если контур интегрирования состоит из одновременных состояний то интеграл (2) принимает вид

В гидродинамике этот интеграл называется циркуляцией скорости вдоль контура С. Мы попутно получили теорему Томсона о сохранении циркуляции скорости - величина циркуляции (6) не изменится, если частицы жидкости, образующие контур в момент времени перевести в положения, занимаемые ими в произвольный другой момент времени

Если частицы жидкости в некоторый момент времени образуют линию, то эти же частицы в другой момент образуют другую линию. Мы будем говорить о перемещающейся и деформирующейся со временем «жидкой линии». Аналогично определяется понятие «жидкой поверхности».

Теорема о сохранении циркуляции утверждает, что каждой замкнутой жидкой линии отвечает определенная циркуляция.

Заметим, что согласно формуле Стокса интеграл (6) записывается в виде интеграла по поверхности ограниченной контуром С:

где

— компоненты некоторого вектора , называемого вихрем (ротором) скорости или просто вихрем. Интеграл (7) обычно представляют в виде

где — проекция вектора на нормаль к поверхности, — элемент площади поверхности Отсюда видно, что интеграл (7) задает величину потока вихря через поверхность. Теорема о сохранении циркуляции скорости переходит в теорему о сохранении потока вихря: каждой ограниченной жидкой поверхности соответствует определенная величина потока вихря через эту поверхность.

Движение жидкости с заданным полем скоростей определяется дифференциальными уравнениями

По отношению к интегральным кривым системы (9) интеграл (5) является интегральным инвариантом.

Поставим вопрос, какие другие системы дифференциальных уравнений вида

наряду с системой (9) обладают тем же свойством, т. е. для каких еще систем интеграл (5) является интегральным инвариантом?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, введем на траекториях системы (10) параметр и приравняем, как это делалось в предыдущем параграфе, отношения (10) произведению где — произвольная функция. Рассмотрим трубку интегральных кривых системы (10) и охватывающий эту трубку замкнутый контур С, для которого Заметим, что значение интеграла (5) вдоль контура С не зависит от величины

Обозначая буквой дифференцирование по и проводя те же рассуждения, что и на стр. 119, мы получим, опираясь на

формулы (8):

где коэффициенты при получаются из коэффициента при циклической перестановкой.

Заменим знаменателями дробей (10), умноженными на Так как при любом выборе функции выражение, стоящее под знаком интеграла, цолжно быть полным дифференциалом, то оно должно тождественно равняться нулю. Поэтому выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю (после замены в них дифференциалов пропорциональными величинами т. е. имеют место равенства:

и

Соотношение (12) является следствием равенств (11), если и равенств (11) и если

Равенства (11) совместно с уравнениями (10) определяют все дифференциальные системы, по отношению к которым интеграл (5) является интегральным инвариантом. Среди этих систем будем искать те, для которых т. е. Тогда из (11) найдем:

и система (10) примет вид

Интегральные кривые системы (13) носят название вихревых линии.

Таким образом, система дифференциальных уравнений вихревых линий является единственной системой с по

отношению к которой интеграл (5) является интегра льным инвариантом.

Из этого положения вытекает важное следствие.

Возьмем в пространстве произвольную трубку вихревых линий и два охватывающих ее контура (рис. 34). В силу инвариантности интеграла (5) относительно вихревых линий

Зададим произвольно величину и переместим любую точку пространства в точку где — координаты в момент той частицы жидкости, которая в момент имела координаты При таком сдвиге вдоль траекторий частиц жидкости вихревые линии перейдут в некоторые новые линии, которые мы назовем «перемещенными линиями». Взятая нами трубка вихревых линий перейдет в трубку перемещенных линий, а контуры в контуры (см. рис. 34). Так как сдвиг осуществлялся движением частиц жидкости, то при сдвиге интеграл (5) не меняет своего значения:

но тогда

Рис. 34.

Можно считать, что и — два произвольных контура, охватывающих трубку перемещенных линий. Поэтому равенство (14) выражает инвариантность интеграла по отношению к «перемещенным линиям». При этом вдоль каждой перемещенной линии, как и вдоль вихревой, Следовательно, перемещенные линии обладают теми свойствами, которыми, как было показано ранее, могут обладать только вихревые линии. Значит, перемещенные линии являются вихревыми линиями. При этом время смещения является произвольным. Таким образом, любая вихревая линия при движении образующих ее частиц жидкости остается все время вихревой.

Мы пришли к теореме Гельмгольца, которую можно сформулировать и так: вихревая линия есть жидкая линия.

Попутно мы получили, что с каждой вихревой трубкой связана определенная «интенсивность», определяемая интегралом

Величина этой интенсивности не меняется при движении жидкости. Если будем брать трубку вихревых линий для одного и того же момента времени то интенсивность (15) представляет собой циркуляцию скорости вдоль контура С