§ 27. Метод разделения переменных. Примеры

Мы показали, что интегрирование системы канонических уравнений сводится к нахождению полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Это положение имеет не только теоретический интерес. Оказалось, что многие задачи динамики и в том числе задачи, представляющие интерес для теоретической физики, получают на этом пути свое удобное практическое решение.

Здесь мы познакомим читателя с методом разделения переменных для нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Этот метод применяется в тех случаях, когда функция Гамильтона Н обобщенно-консервативной системы имеет специальную структуру.

1°. Пусть

В этом случае в выражении для функции Н переменные разделены: в каждую функцию входит только одна пара сопряженных переменных

Уравнение (22) предыдущего параграфа теперь запишется так:

Положим

где — произвольные постоянные. Тогда, согласно формуле (1), постоянную можно выразить через постоянные следующим образом:

Разрешив равенства (3) относительно найдем

и

В этом случае

и основное условие

сводится к неравенству

Поскольку соотношение

эквивалентно уравнению

то

и условие (7) всегда выполнено. Поэтому формула (6) определяет полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Конечные уравнения движения

в данном случае запишутся так:

Таким образом, нахождение конечных уравнений движения осуществляется с помощью квадратур.

Пример 1. Рассмотрим осциллятор с одной степенью свободы. В этом случае

и, таким образом,

а уравнение (2) имеет вид

Положим тогда

и из конечных уравнений движения (11) находим выражение для импульса

а собственно уравнение движения запишется так:

где

Замечая, что интеграл в формуле (14) равен получаем уравнение движения в следующем виде:

2°. Пусть

Тогда уравнение для определения V запишется так:

Введем произвольные постоянные и положим последовательно

Определяя отсюда частные производные, найдем

Отсюда

и

Здесь

Поэтому условие (7) сводится к неравенству

которое всегда выполняется, поскольку уравнение

эквивалентно уравнению

и потому

Для дальнейшего нам понадобятся выражения для производных которые находятся из уравнений (20) и (21), а именно:

Подставляя в конечные уравнения движения (11) выражение (19) и учитывая формулы (22) и (23), получаем окончательно:

и

Здесь первые уравнений (24) являются уравнениями для семейства траекторий в координатном пространстве; эти уравнения содержат произвольных постоянных Последнее уравнение (24) содержит новую произвольную постоянную и устанавливает связь координат с переменной времени

Уравнения (25) после подстановки в них функций найденных из уравнений (24), определяют импульсы как функции от и всех произвольных постоянных

Пример. 2. Рассмотрим кеплерово движение, при котором материальная точка массы притягивается к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра.

В этом случае в сферических координатах

и уравнение для определения V имеет вид

Положим

Тогда, согласно формулам (24), находим:

Мы получили, конечные уравнения для кеплерова движения.

При исследовании этого движения без нарушения общности можно считать, что начальная скорость лежит в плоскости меридиана Тогда в начальный момент , следовательно, согласно формуле (26а),

т. е. движение плоское. Почленно дифференцируя равенства (26б) и (26в), получаем, что секториальная скорость равна

т. е. движение в плоскости происходит в соответствии с законом площадей.

Наконец, для определения траектории полагаем и из формулы (266) с учетом равенства (27) находим

где

Вычислив интеграл, получим

и, следовательно,

Наконец, вспомнив, что получим для траектории уравнение конического сечения, в одном из фокусов которого расположен центр притяжения:

где параметр и эксцентриситет конического сечения определяются из равенств

Пусть точка описывает замкнутую орбиту (движение планеты, притягиваемой Солнцем). Тогда эта орбита — эллипс, в одном из фокусов которого находится центр притяжения (Солнце).

Обозначив через и площадь и полуоси эллипса, найдем поскольку, как известно,

Пусть — период (время обращения), Тогда на основании равенств (30)

где, согласно закону притяжения Ньютона, величина зависит только от центра притяжения. Мы получили три закона Кеплера для движения планет вокруг Солнца: 1) планеты движутся с постоянной секториальной скоростью по плоским орбитам; 2) этими орбитами являются эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце; 3) отношение квадратов времен обращения к кубам больших осей орбит для всех планет одинаково.

3°. Рассмотрим еще в качестве примера применения метода разделения переменных случай, когда

Тогда основное дифференциальное уравнение

может быть записано в следующем виде:

Положим

где — произвольные постоянные, а постоянная в силу уравнения (33) и равенств (34), выражается через а именно:

Разрешим уравнения (34) относительно производных

Решение уравнения (33) берем в виде

Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид

Тогда конечные уравнения движения (11) получаются с помощью квадратур

Разрешая уравнение относительно получаем Предполагается, что выполняется условие разрешимости В этом случае производные неявной функции равны

и

Уравнения (39) в окончательной форме имеют вид

Как частный случай получаем теорему Лиувилля:

Если кинетическая и потенциальная энергии системы имеют вид

где — функции от одной переменной то конечные уравнения движения системы могут быть получены с помощью квадратур.

Действительно, для системы Лиувилля

но это частный случай формулы (32).