§ 49. Устойчивость стационарных движений

Рассмотрим консервативную систему, положение которой задается при помощи позиционных координат циклических координат . Движение такой системы определяется каноническими уравнениями:

где полная энергия системы имеет вид

причем квадратичная форма, стоящая в правой части этого равенства, является положительно определенной. При движении системы функция Н и обобщенные импульсы не изменяют своих значений, т. е. эти величины являются интегралами движения:

Движение системы называется стационарным, если при этом движении все позиционные координаты сохраняют постоянные значения

При стационарном движении все позиционные скорости равны нулю и потому, согласно уравнениям (1) и равенству (2),

Из этих соотношений следует, что при стационарном движении имеют постоянные величины и все позиционные импульсы Поскольку то из уравнений (1) вытекает, что при стационарном движении

Уравнения (5) представляют собой необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять начальные значения для того, чтобы движение, определяемое этими начальными данными, было стационарным.

Заметим еще, что при стационарном движении имеют постоянные величины и циклические скорости , так как в соответствии с (1)

Поэтому

Начальные циклические координаты являются произвольными постоянными и в условия (5) не входят.

Таким образом, при стационарном движении позиционные координаты сохраняют постоянные значения, а циклические координаты изменяются по линейному закону.

Пример. Регулярная прецессия тяжелого симметричного гироскопа представляет собой стационарное движение.

Действительно, регулярная прецессия характеризуется равенствами

где угол прецессии и угол чистого вращения циклические координаты, а угол нутации — угол, образованный осью гироскопа с вертикалью, позиционная координата.

Заметим, что согласно соотношениям (6) небольшое изменение начальных величин дает небольшое изменение начальных циклических скоростей Однако небольшое изменение величин 1, согласно формулам (7), дает с течением времени сколь угодно большое изменение самих циклических координат. Поэтому по отношению к циклическим координатам стационарное движение не может быть устойчивым.

В дальнейшем под устойчивостью стационарного движения мы будем понимать устойчивость по отношению ко всем

импульсам позиционным координатам

Тогда имеет место следующий критерий устойчивости стационарных движений.

Движение с начальными данными будет устойчивым стационарным движением, если функция в точке имеет строгий экстремум.

Действительно, рассматриваемое движение будет стационарным, поскольку из существования экстремума функции следует, что величины совместно с величинами удовлетворяют уравнениям (5). Введем отклонения

Тогда, используя интеграл движения в качестве функции Ляпунова, можно сделать заключение (см. стр. 209) об устойчивости нулевого решения (т. е. устойчивости стационарного движения) в предположении, что циклические импульсы не испытывают возмущений (т. е. что эти величины для возмущенного движения имеют те же значения что и для невозмущенного).

Однако сформулированный выше критерий устойчивости сохраняет свою силу и в общем случае, когда для возмущенного движения величины могут быть отличными от нуля. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно использовать следствие из теоремы Ляпунова (стр. 209), взяв в качестве функции Ляпунова функцию

Эта функция является интегралом движения и имеет при строгий минимум, равный нулю.

Установим аналогию между устойчивостью состояния равновесия и устойчивостью стационарного движения. Для этого рассмотрим приведенную систему с независимыми координатами и с потенциальной энергией, равной потенциалу Рауса:

(см. предыдущий параграф). На приведенную систему помимо потенциальных сил — действуют еще гироскопические силы. Так как стационарному движению исходной системы соответствует положение равновесия приведенной системы, то величины должны удовлетворять уравнениям

Это необходимые и достаточные условия существования стационарного движения. Они, очевидно, эквивалентны условиям (5) и получаются из последних исключением величин Применяя теорему Лагранжа к положению равновесия приведенной системы, получаем критерий устойчивости стационарного движения в следующей форме.

Движение с начальными данными будет устойчивым стационарным движением, если потенциал Рауса имеет строгий минимум при

Применяя теорему Лагранжа к приведенной системе, мы фиксировали постоянные значения циклических импульсов Однако критерий сохраняет свою силу и при варьировании импульсов Для того чтобы установить это, достаточно в качестве функции Ляпунова взять интеграл движения

где — полная энергия приведенной системы [она совпадает с полной энергией исходной системы, выраженной

в переменных Рауса отклонения возмущенного движения (от данного стационарного движения). Функция (11) имеет строгий минимум (равный нулю) при .

Приведенный здесь критерий устойчивости стационарного движения в несколько иной форме был установлен Раусом в

Пример. Определить устойчивые стационарные движения неоднородного весомого шара на гладкой горизонтальной плоскости, если центр тяжести шара отстоит от геометрического центра О на расстоянии масса шара равна М, момент инерции относительно оси равен С, а два других главных центральных момента инерции равны между собой, (рис. 61).

Рис. 61.

В качестве независимых координат возьмем две горизонтальные координаты центра тяжести и три угла Эйлера При этом угол является углом «чистого вращения» вокруг оси динамической симметрии проходящей через точки и О; направление оси совпадает с направлением вектора Напишем

выражения для кинетической и потенциальной энергии:

Здесь — проекции угловой скорости на центральные оси инерции. Но

Поэтому

Координаты и являются циклическими. Во время движения соответствующие импульсы сохраняют постоянные значения, а именно:

Кроме того,

Напишем выражение для функции Гамильтона в переменных

где

— потенциал Рауса.

Условия существования стационарного движения (5) здесь имеют вид

Условие устойчивости — наличие строгого экстремума функции Н при и некотором искомом значении 0 — будет выполнено, если при этом значении 0 функция П имеет строгий минимум. Для нахождения этого значения положим и

Найдем:

где

Допустим, что уравнение имеет корень и такой, что Этому значению и соответствует стационарное движение шара, при котором центр шара перемещается равномерно и прямолинейно, а углы изменяются по линейному закону.

Для выяснения устойчивости стационарного движения докажем предварительно, что при Действительно, если бы при то из выражения для вытекало бы, что Отсюда легко усмотреть, что при что невозможно, поскольку Следовательно, при сохраняет знак в интервале Но Следовательно, при Поскольку

то при рассматриваемом значении 0 функция П имеет строгий минимум, т. е. соответствующее стационарное движение устойчиво.

Условие существования стационарного движения можно преобразовать, положив

Если затем в полученное равенство подставить то это условие принимает окончательный вид

Это хорошо известное условие существования регулярной прецессии под воздействием внешнего момента (момент вертикальной реакции относительно полюса

Рассмотрим отдельно три случая.

то условие (15) не выполняется ни при одном вещественном значении 0 и не существует стационарного движения с такими угловыми скоростями.

2°. Если и величины и имеют одинаковые знаки, то при таких угловых скоростях существует стационарное движение с

3°. Если же а величины имеют разные знаки, то при стационарном движении . В этом случае существует устойчивое стационарное движение такое, при котором центр тяжести расположен выше геометрического центра шара.

Рассмотрим теперь особые случаи.

а) . Тогда из формул (12) следует, что Поэтому

Стационарное движение всегда устойчиво.

б) . Из формул (12) находим: Поэтому

Стационарное движение будет устойчивым при выполнении условия

которое в подробной записи выглядит так:

Если неравенство (16) имеет место, то, хотя в рассматриваемом случае центр тяжести расположен над геометрическим центром шара, вращение вокруг вертикальной оси будет устойчивым стационарным движением.