§ 17. Вторая форма принципа Гамильтона

Остановимся еще на одной форме вариационного принципа Гамильтона. Вместо -мерного расширенного координатного пространства рассмотрим -мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины и . В этом пространстве рассмотрим прямой путь, проходящий через две точки а также всевозможные другие кривые, соединяющие эти точки («окольные» пути; см. рис.

Функции задающие прямой путь, удовлетворяют уравнениям Г амильтона

Рис. 32.

Введем в рассмотрение функцию от независимых переменных определяемую равенством

С помощью этой функции канонические уравнения Гамильтона (1), как легко видеть, могут быть записаны в форме Лагранжа:

Так как прямой путь характеризуется уравнениями (3) типа Лагранжа, то как было установлено ранее, прямой путь в расширенном фазовом пространстве выделяется среди окольных путей тем, что для него интеграл

имеет стационарное значение

С первого взгляда может показаться, что вторая форма (5) для принципа Гамильтона ничем не отличается от первой поскольку, согласно формуле (8) на стр. 85, выражение совпадает с функцией Однако это не всегда так. Это справедливо лишь для движений системы, т. е. для таких путей которых функции связаны соотношениями

Однако при второй форме принципа Гамильтона (в отличие от первой!) к сравнению допускаются в качестве окольных путей произвольные кривые -мерного расширенного фазового пространства, проходящие через точки Для этих путей соотношения (6) могут не выполняться, и потому в общем случае для них Если же в формуле (5) ограничиться только теми окольными путями, для которых имеют место равенства (6), то вторая форма принципа Гамильтона переходит в первую .

Заметим еще, что в отличие от точек в первой форме принципа Гамильтона точки не могут быть выбраны произвольно, так как через две произвольные точки расширенного фазового пространства в общем случае прямой путь провести нельзя. Точки и В, выбираются на том прямом пути, для которого формулируется принцип Гамильтона.