§ 15. Скобки Пуассона

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые свойства интегралов гамильтоновой системы уравнений движения.

Некоторая функция называется интегралом уравнений движения

если для любого движения данной системы эта функция сохраняет постоянное значение с:

Иногда интегралом называют само соотношение (2).

Для обобщенно-консервативной системы интегралом является функция Если — циклические координаты, то интегралом будет

Очевидно, что если функции являются интегралами уравнений движения, то произвольная функция от этих интегралов

будет также интегралом. Поэтому в дальнейшем нас будут интересовать только независимые интегралы.

Если известна «полная» система интегралов, состоящая из независимых интегралов — число степеней свободы системы), то, разрешая соотношения

относительно получаем конечные уравнения движения

содержащие произвольных постоянных

Таким образом, если известны независимых интегралов, то известны все движения системы. Если нам известны независимых интегралов где то мы имеем лишь частичное представление о движениях системы, и чем больше тем более полным является это представление.

Поэтому мы всегда заинтересованы в нахождении возможно большего числа независимых интегралов.

Мы познакомимся здесь с методом нахождения интегралов уравнений движения, предложенным Пуассоном и Якоби.

Пусть — интеграл уравнений (1). Тогда при подстановке вместо любого решения гамильтоновой системы (1) функция превращается в постоянную с, т. е., согласно уравнениям (1)

Пуассон ввел специальное обозначение — скобки Пуассона — для следующего выражения, составленного из частных производных двух произвольных функций

При помощи скобок Пуассона равенство (5) — необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция была интегралом уравнений (1) — записывается так:

Отметим следующие свойства скобок Пуассона:

Для любых функций

Тождества 1°, 2°, 3°, 5° получаются непосредственно из определения (6) скобок Пуассона.

Тождество 4°, которое называют тождеством Пуассона, устанавливается при помощи специальных соображений. Пусть X и — дифференциальные операторы первого

порядка над функцией

где — функции от переменных хт. Тогда «коммутатор» также будет оператором первого порядка

Вернемся к скобкам Пуассона Эти скобки можно рассматривать как результат применения линейного оператора Ф вида (8) к функции от переменных

Этот дифференциальный оператор первого порядка вполне определяется функцией Аналогичные операторы определяются функциями

Перейдем теперь непосредственно к установлению тождества Пуассона 4°. После раскрытия сложных скобок любой член в левой части 4° будет содержать в качестве множителя частную производную второго порядка от одной из функций Но не содержит частных производных второго порядка от у, а сумма

представляет собой дифференциальный оператор первого порядка относительно у. Таким образом, в левую часть тождества Пуассона не входят частные производные второго порядка от а значит, в силу симметрии, отсутствуют и частные производные второго порядка от Другими словами, все члены в левой части 4° взаимно уничтожаются, что и требовалось доказать.

Докажем теперь основную теорему.

Теорема Якоби — Пуассона. Если и — интегралы уравнений, движения, то — также интеграл этих уравнений.

Доказательство. Требуется доказать, что для функции выполняется соотношение (7):

когда такое же соотношение имеет место для каждой из функций

Действительно, согласно 5°

Поэтому, используя тождество Пуассона, получаем

что и требовалось доказать.

Доказанная теорема дает автоматическое правило, позволяющее из двух интегралов при помощи алгебраических операций и операции дифференцирования получить третий интеграл:

Взяв скобки Пуассона, например, от мы снова получим интеграл и т. д. Однако не следует забывать, что новый интеграл может оказаться или тождественно равным нулю или функцией от предыдущих известных нам интегралов. Таким образом, только при специальном выборе независимых интегралов можно быть уверенным, что при помощи скобок Пуассона можно получить недостающие (до полной системы) интегралы

В качестве примера рассмотрим интегралы количеств движения и моментов количеств движения для свободной и изолированной от внешних воздействий системы материальных точек:

где

Функции являются интегралами, т. е. имеют место «интегралы сохранения»

если система изолирована. При наличии же внешнего силового поля с главным вектором и главным моментом любой из этих интегралов имеет место, если соответствующая из величин равна нулю.

Составим скобки Пуассона для величин, связанных С одной точкой:

Заметим, что скобки Пуассона, в которых одна величина или относится к одной точке, а вторая к другой, всегда равны нулю; поэтому

Циклической перестановкой букв х, у, z получаем аналогичные соотношения

Шесть законов сохранения (13) не являются независимыми. Из соотношений (14) и следует, что если имеют место интегралы

то имеют место и интегралы

Конечно, все это верно для потенциального силового поля. В непотенциальном силовом поле из равенств

не следуют равенства