§ 28. Применение канонических преобразований в теории возмущений

Пусть известны движения системы с данной функцией Н, т. е. решения

системы дифференциальных уравнений

и пусть требуется определить движение «возмущенной» системы с гамильтоновой функцией т. е. определить решения системы дифференциальных уравнений

Если в формулах (1) рассматривать как новые переменные, то, как было выяснено на стр. 159, формулы (1) определяют свободное унивалентное каноническое преобразование. Это преобразование переводит гамильтонову систему (2) в гамильтонову систему с функцией [см. формулу (13) на стр. 158]

а гамильтонову систему (3) — в гамильтонову систему с функцией Н, которая будет равна

Таким образом, новые переменные обладают следующим замечательным свойством: для невозмущенного

движения они сохраняют постоянные значения, равные начальным значениям; для возмущенного же движения они представляют собой функции от времени и начальных значений:

определяемые как общее решение гамильтоновой системы (5), в которой функцией Гамильтона является «энергия возмущения» Конечные уравнения для возмущенного движения в исходных координатах получаются при подстановке функций (6) в формулы для невозмущенного движения (1) вместо постоянных

Нам удалось, используя теорию канонических преобразований, заменить интегрирование гамильтоновой системы (3) интегрированием гамильтоновых систем (2) и (5); из общих решений (1) и (6) этих систем суперпозицией получаем общее решение системы (3)

Мы фактически показали, что «возмущение в энергии» системы эквивалентно «возмущению начальных данных». Проиллюстрируем это на рис. 40.

Рис. 40.

В расширенном фазовом пространстве в гиперплоскости возьмем фиксированную точку и проведем из нее невозмущенный прямой путь, т. е. прямой путь (1) для системы (2). На рис. 40 этот путь изображен жирной линией

В гиперплоскости t = 0 смещение, начальной точки, задаваемое функциями (6), изобразим тонкой линией

Из точки этой кривой проведем невозмущенный прямой путь (на рис. 40 он изображен пунктирной

линией). На этом пути возьмем точку Р с данным значением координаты времени Это и будет положение системы в возмущенном движении в момент времени При невозмущенном движении система в момент занимала положение Таким образом, возмущение сказалось в «сдвиге» Прямой путь в возмущенном движении изображен жирной линией Таким образом, возмущенное движение можно рассматривать как «сложное» движение в фазовом пространстве: точка движется по невозмущенному прямому пути, но сам этот путь смещается (в общем случае деформируясь) из-за «возмущения» начальных данных.