Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 43. Экстремальные свойства частот консервативной системы. Теорема Релея об изменении частот с изменением инерции и жесткости системы. Наложение связейВ § 41 мы рассматривали линейное неособенное преобразование координат
или в скалярной записи
осуществляющее переход к нормальным координатам
имеют простой («канонический») вид:
В дальнейшем будем предполагать, что главные колебания занумерованы так, что их частоты идут в возрастающем порядке
Рассмотрим отношение квадратичных форм (3)
при любом или, что то же, при любых значениях
С другой стороны, из формулы (5) непосредственно видно, что при значения
Наложим теперь на систему линейную однородную связь:
Выражая здесь
Связь (8) или (8) будем сокращенно обозначать так:
Всегда можно найти такие значения
Поэтому
Будем теперь варьировать связь
и потому [по аналогии с формулами (5) и (7)]
Таким образом, среди всех связей вида
достигает своего наибольшего значения
Вместо одной связи
Формулы (7) и (11) выражают экстремальные свойства частот консервативной системы. Эти свойства иногда называются максиманимальными. Вместо формул (7) и (11) легко получить аналогичные формулы:
Экстремальные свойства главных частот, выражаемые равенствами (7) и (11), иногда называют минимаксималъными. Наряду с данной системой рассмотрим еще одну консервативную систему с кинетической и потенциальной энергиями
и с главными частотами
Для этой системы
Пусть новая система имеет большую жесткость при той же инерции, т. е. при любом
или меньшую инерцию при той же жесткости
В обоих случаях при любом
Но тогда и минимумы и максиминимумы этих отношений будут связаны между собой таким же неравенством, т. е. из неравенства (16), в силу формул (7), (11), (14) и (15), следует:
При этом хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак
Мы пришли к теореме Релея: При увеличении жесткости системы или уменьшении ее инерции главные частоты увеличиваются. Выясним, как влияет наложение связей на величины главных частот
Пусть полученная таким образом консервативная система
Сопоставляя формулу (19) с формулами (7) и (11) (при
Точно так же при любом
Здесь связи
в которой варьируются все
Формулы (22) показывают, что при наложении 1. В качестве приложения последнего предложения можно показать, что корни векового уравнения
т. е.
Действительно, уравнение 2. Укажем еще на одно любопытное применение предложения об изменении частот при наложении связей. Известно, что наличие трещины в стакане определяют, постукивая о стакан пальцами. Это связано с тем, что у стакана без трещины по сравнению со стаканом с трещиной имеются дополнительные связи между его частями. Поэтому у стакана без трещины частоты колебаний должны быть более высокими.
|
1 |
Оглавление
|