§ 43. Экстремальные свойства частот консервативной системы. Теорема Релея об изменении частот с изменением инерции и жесткости системы. Наложение связей

В § 41 мы рассматривали линейное неособенное преобразование координат

или в скалярной записи

осуществляющее переход к нормальным координатам в которых квадратичные формы

имеют простой («канонический») вид:

В дальнейшем будем предполагать, что главные колебания занумерованы так, что их частоты идут в возрастающем порядке

Рассмотрим отношение квадратичных форм (3)

при любом или, что то же, при любых значениях не равных одновременно нулю. Заменяя в числителе дроби (5) все на меньшее или равное им число найдем

С другой стороны, из формулы (5) непосредственно видно, что при отношение достигает

значения Следовательно,

Наложим теперь на систему линейную однородную связь:

Выражая здесь через нормальные координаты с помощью преобразования (1), мы в нормальных координатах снова будем иметь линейную однородную связь

Связь (8) или (8) будем сокращенно обозначать так:

Всегда можно найти такие значения и 6.2, которые вместе с удовлетворяют уравнению связи (8). Для соответствующего согласно формуле (5),

Поэтому

Будем теперь варьировать связь Тогда левая часть в неравенстве (9) будет изменяться, оставаясь все время меньшей или равной Но при связи (здесь отношение задается формулой

и потому [по аналогии с формулами (5) и (7)]

Таким образом, среди всех связей вида величина

достигает своего наибольшего значения при связи Следовательно,

Вместо одной связи можно накладывать на систему несколько связей Аналогично тому, как это было сделано в частном случае одной связи, можно показать, что

Формулы (7) и (11) выражают экстремальные свойства частот консервативной системы. Эти свойства иногда называются максиманимальными.

Вместо формул (7) и (11) легко получить аналогичные формулы:

Экстремальные свойства главных частот, выражаемые равенствами (7) и (11), иногда называют минимаксималъными.

Наряду с данной системой рассмотрим еще одну консервативную систему с кинетической и потенциальной энергиями

и с главными частотами

Для этой системы

Пусть новая система имеет большую жесткость при той же инерции, т. е. при любом

или меньшую инерцию при той же жесткости

В обоих случаях при любом

Но тогда и минимумы и максиминимумы этих отношений будут связаны между собой таким же неравенством, т. е. из неравенства (16), в силу формул (7), (11), (14) и (15), следует:

При этом хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак , если только не выполняется тождество

Мы пришли к теореме Релея:

При увеличении жесткости системы или уменьшении ее инерции главные частоты увеличиваются.

Выясним, как влияет наложение связей на величины главных частот консервативной системы. Наложим на систему независимых линейных связей

Пусть полученная таким образом консервативная система степенями свободы имеет главные частоты При этом

Сопоставляя формулу (19) с формулами (7) и (11) (при находим:

Точно так же при любом

Здесь связи фиксированы, а варьируются связи Сопоставляя равенства (21) с равенствами (11) и с формулой

в которой варьируются все связей, будем иметь

Формулы (22) показывают, что при наложении независимых связей каждая из первых главных частот увеличивается, не превосходя при этом старую главную частоту, номер которой на единиц больше номера данной частоты.

1. В качестве приложения последнего предложения можно показать, что корни векового уравнения разделяются корнями уравнения

т. е.

Действительно, уравнение является вековым уравнением для консервативной системы, получающейся из исходной наложением одной связи Поэтому, полагая , мы сразу из неравенств (22) получаем неравенства (23) при

2. Укажем еще на одно любопытное применение предложения об изменении частот при наложении связей. Известно, что наличие трещины в стакане определяют, постукивая о стакан пальцами. Это связано с тем, что у стакана без трещины по сравнению со стаканом с трещиной имеются дополнительные связи между его частями. Поэтому у стакана без трещины частоты колебаний должны быть более высокими.