ГЛАВА IV. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

§ 24. Канонические преобразования

Преобразование координат в -мерном фазовом пространстве (содержащее в общем случае переменную времени как параметр)

называется каноническим, если это преобразование переводит любую гамильтонову систему

снова в гамильтонову систему (вообще говоря, с другой функцией Гамильтона Н):

Важность изучения канонических преобразований связана с тем, что эти преобразования дают возможность заменить данную гамильтонову систему (2) другой гамильтоновой системой (3), в которой функция Н имеет более простую структуру, чем Н.

Если в фазовом пространстве последовательно выполнить два канонические преобразования, то результирующее преобразование снова будет каноническим. Кроме того, преобразование, обратное некоторому каноническому преобразованию, всегда является

каноническим и тождественное преобразование есть каноническое. Поэтому все канонические преобразования в совокупности образуют группу.

Примеры. 1. Преобразование

как легко проверить, является каноническим. Оно переводит систему (2) в систему (3) с

2. Преобразование

будет каноническим. В этом случае

3. Преобразование

будет каноническим, так как легко проверяется, что из уравнений (2) всегда получаются уравнения (3) при

Рис. 39.

Для вывода условий, при которых преобразование (1) является каноническим, рассмотрим два расширенных -мерных фазовых пространства переходящих одно в другое при каноническом преобразовании (1), и две трубки прямых путей гамильтоновых систем (2) и (3) (рис. 39).

Возьмем два произвольных замкнутых контура С и С, которые охватывают эти трубки и соответствуют друг другу в силу преобразования (1). Кроме того, пересечем обе трубки одной и той же гиперплоскостью . В сечении получим два «плоских» контура Эти контуры также переходят друг в друга при каноническом преобразовании (1), так как при каноническом преобразовании величина остается неизменной. Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана следует, что

С другой стороны, если в универсальном интегральном инварианте перейти к переменным с помощью канонического преобразования (1), то этот интеграл перейдет в некоторый универсальный интегральный инвариант первого порядка в -мерном фазовом -пространстве; по теореме Ли Хуа-чжуна полученный инвариант может отличаться только постоянным множителем с от Поэтому

Из равенств (4) — (6) следует, что

Если в первом интеграле считать, что переменные выражены через переменные (при этом контур

интегрирования С заменяется контуром интегрирования С), то равенство (7) может быть переписано так:

Но С — совершенно произвольный контур в -мерном расширенном фазовом пространстве. Поэтому, выражение, стоящее под знаком интеграла в равенстве (8), должно быть полным дифференциалом некоторой функции от аргументов и Эту функцию нам удобно будет обозначать через — тогда

Заметим, что постоянная с в тождестве (9) всегда отлична от нуля, с так как выражение не является полным дифференциалом и потому не может быть равным —

Функцию Р будем называть производящей функцией, а постоянную с — валентностью рассматриваемого канонического преобразования (1). Каноническое преобразование будем называть унивалентным, если для него .

Необходимым и достаточным условием каноничности преобразования (1) является существование производящей функции и некоторой постоянной с, при которых равенство (9) тождественно выполняется в силу преобразования (1).

Замечание. Если преобразование (1) является каноническим, то существуют производящая функция и валентность с такие, что имеет место равенство (9) при любой функции Н и соответствующей Н. Однако если равенство (9)

справедливо для одной пары функций , то преобразование (1) уже является каноническим.

Действительно, наряду с Н возьмем произвольную другую функцию и определим из условия

Умножая обе части этого равенства на и вычитая почленно полученное равенство из равенства (9), получаем:

Таким образом, равенство (9) справедливо для любой функции и соответствующей

Канонические преобразования иногда называют также контактными преобразованиями.

В литературе часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования. Многие авторы ошибочно считают, что этими преобразованиями исчерпываются все преобразования (1), переводящие гамильтоновы системы снова в гамильтоновы. Эти авторы не замечают произвольного постоянного множителя с, который должен фигурировать в общей формуле для произвольного канонического преобразования.