§ 26. Уравнение Гамильтона — Якоби

Теория канонических преобразований приводит нас непосредственно к уравнению Гамильтона—Якоби.

Пусть дана голономная система, движение которой подчиняется каноническим уравнениям Гамильтона

Постараемся определить такое свободное унивалентноё каноническое преобразование, чтобы в преобразованной гамильтоновой системе

функция была тождественно равна нулю:

Тогда система (2) интегрируется непосредственно

где суть произвольных постоянных. Зная каноническое преобразование, т. е. связь между мы выразим все как функции времени и произвольных постоянных , т. е. полностью найдем конечные уравнения движения данной голономной системы решенйя системы (1)].

Как же определить Нужное нам каноническое преобразование? Для этого в силу формулы (7) предыдущего параграфа необходимо и достаточно, чтобы для производящей функции искомого канонического преобразования выполнялось равенство

Это в сочетании с формулами (6) того же параграфа дает

Йолучённое уравнение в чайных производных носит назйание уравнения Гамильтона — Якоби. Таким образом, производящая функция с основными переменными

и рассматриваются здесь как параметры) удовлетворяет уравнению в частных производных Гамильтона — Якоби. При этом, кроме уравнения Гамильтона — Якоби, для производящей функции должно выполняться условие

Как только производящая функция найдена, формулы

определят искомое свободное каноническое преобразование. Заменив в этих формулах на и на мы получим уравнения движения данной голономной системы в конечном виде. Весь этот процесс удобнее описать, если с самого начала в 5 заменить на .

Введем определение. Решение уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби, содержащее произвольных постоянных называется полным интегралом этого уравнения, если выполняется условие

Теперь мы можем сформулировать доказанную теорему.

Теорема Якоби. Если — некоторый полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (6), то конечные уравнения движения голономной системы с данной функцией Н могут быть записаны в виде

где — произвольные постоянные

Таким образом, знание полного интеграла уравнения в частных производных (6) избавляет нас от необходимости

интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (1). Задача интегрирования этой системы заменяется эквивалентной задачей отыскания полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби в частных производных.

Замечание. Общее решение уравнения в частных производных зависит от нескольких произвольных функций. Поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби отнюдь не является общим решением. Полный интеграл по сравнению с общим решением охватывает только небольшую «горстку» решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение (отсюда и название «полный интеграл»). Действительно, дифференцируя полный интеграл, получаем

Если известен полный интеграл то известны и функции Из соотношений (10) можно выразить каждое через частные производные поскольку, в силу условия (8),

Подставив полученные выражения для в равенство (11), получим исходное уравнение в частных производных

В качестве примера полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби рассмотрим так называемую главную функцию Гамильтона. Для этого вернемся к формуле (7) на стр. 115 и к рис. 33 на стр. 116. Рассмотрим только частный случай, когда т. е. примем, что контур состоит из начальных состояний системы при Кроме того, вместо будем писать просто . Тогда, если — действие вдоль прямого пути (т. е. вдоль

образуйщёй трубки) от начальной точки до конечной точки, соответствующей данному значению то

Если использовать конечные уравнения движения

и вместо подставить в выражение для действия

их значения (14), то станет функцией от Гамильтон предложил, используя конечные уравнения движения (14), выразить через и таким образом представить действие в виде

Действие представленное в виде , т. е. в виде функции от начальных координат, конечных координат и конечного момента времени называется главной функцией Гамильтона. Считай, что в равенстве есть главная функция Гамильтона, мы на оснований этого равенства получаем

и

Из равенств (17) и (18) следует, что главная функция Гамильтона удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби

а соотношения (17) представляют собой конечные уравнения движения, содержащие произвольных постоянных

Таким образом, Гамильтон показал, как записываются конечные уравнения движения при помощи полнрго интеграла уравнения (19). Однако этот полный интеграл у Гамильтона не был произвольным и в нем произвольными постоянными были начальные значения и Получался порочный круг: для написания конечных уравнений движения (17) нужна главная функция Гамильтона, а для составления этой функции, как выше было показано, нужно знать конечные уравнения движения.

Заслуга Якоби заключается в том, что, продолжив исследования Гамильтона, он разорвал этот порочный круг. Он показал, что конечные уравнения движения могут быть написаны в виде (9) при помощи произвольного полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби.

Вернемся к тождеству и сопоставим его с тождеством (2) на стр. 151. Из сопоставления видно, что формулы (14) и (15), представляющие собой конечные уравнения движения и выражающие гамильтоновы координаты состояния системы в момент через начальные координаты можно рассматривать как свободное унивалентное каноническое преобразование от переменных к переменным производящей функцией этого канонического преобразования является — где — главная функция Гамильтона.

Таким образом, преобразование фазового пространства, рсуществляемое с помощью движений любой гамильтоновой системы, является каноническим (при этом свободным и утвалентным).

Прим Составим функцию Г амильтона для движения по инерции свободной материальной точки. В этом случае (полагаем

и потому

Если исходить из найденной главной функции Гамильтона

то уравнения движения получаются по формулам (17), которые в данном случае выглядят так:

Пусть мы имеем обобщенно-консервативную систему . В этом случае уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид

и его полный интеграл можно искать в виде

где и — произвольные постоянные.

Подставляя это выражение для 5 в уравнение (20), мы получаем для определения функции V следующее уравнение:

Найдя полный интеграл этого уравнения, т. е. решение Для которого выполняется неравенство

мы с помощью формул (9) и (21) получим следующие конечные уравнения движения обобщенно-консервативной системы:

где и — произвольные постоянные.

В силу условия (23) координаты могут быть определены из уравнения как функции от и произвольных постоянных и Подставляя полученные выражения в уравнения (24), найдем аналогичные выражения для обобщенных импульсов

В случае обобщенно-консервативной системы мы заменили уравнение (6) уравнением (20), в котором число независимых переменных на единицу меньше. Аналогичное понижение числа независимых переменных в уравнении в частных производных можно произвести и в том случае, если одна из координат циклическая.

Рассмотрим сразу общий случай, когда несколько координат являются циклическими. В этом случае и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде

Для нахождения функции получаем уравнение

Если координаты являются циклическими у обобщенно-консервативной системы, то функцию ищут

в виде

где функция определяется из уравнения