§ 8. Теорема об изменении полной энергии. Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы

Если обобщенные силы не зависят от обобщенных скоростей

и существует функция такая, что

то силы называются потенциальными, а функция П — потенциалом сил или потенциальной энергией. Равенства (2), определяющие потенциал П, можно записать так:

Рассмотрим теперь общий случай, когда помимо потенциальных сил, определяемых потенциалом П, на систему действуют еще непотенциальные силы

Тогда

и уравнения Лагранжа принимают вид

Введем в рассмотрение полную энергию Е, равную сумме кинетической и потенциальной эиергий

и вычислим производную Для этого сначала найдем

Замечая, что и используя уравнения Лагранжа (6), получаем

Отсюда с учетом равенства (7) окончательно находим

Стоящее в правой части выражение

где элементарная работа непотенциальных сил представляет собой мощность непотенциальных сил . Слагаемое в правой части

отлично от нуля лишь для реономной системы (для склерономной системы . Последнее же слагаемое отлично от нуля только тогда, когда потенциальная энергия П зависит явно от времени.

Формула (10) определяет изменение полной энергии при движении произвольной голономной системы. Рассмотрим частные случаи.

а) Система склерономная. Тогда

б) Система склерономная, и потенциальная энергия не зависит явно от времени. Тогда

Для такой системы производная от полной энергии по времени равна мощности непотенциальных сил.

в) Система консервативная, т. е.: 1) система склерономная; 2) все силы потенциальные и 3) потенциальная энергия П не зависит явно от времени. Для консервативной системы, согласно равенству (10),

т. е. при любом движении системы

Полная энергия консервативной системы не изменяется при движении системы.

Равенство (16), не содержащее и включающее произвольную постоянную определяет первый интеграл уравнений движения. Оно называется интегралом энергии.

Непотенциальные силы называются гироскопическими, если их мощность равна нулю:

и диссипативными, если их мощность отрицательна или равна нулю:

Если потенциальная энергия не зависит явно от то из равенств (14) и (17) следует — , таким образом, для склерономной системы при гироскопических силах также имеет место интеграл энергии

Если же на такую систему действуют диссипативные силы, то при движении системы

т. е. полная энергия убывает во время движения. В этом случае саму систему мы будем называть диссипативной.

В соотношениях (17) и (18) обобщенные силы в общем случае зависят от обобщенных скоростей. Рассмотрим важные частные случаи, в которых эта зависимость линейна и однородна. 1°. Пусть

и матрица коэффициентов является кососимметрической:

Тогда силы (19) являются гироскопическими.

Действительно, в этом случае

Последнее равенство показывает, что кососимметричность матрицы коэффициентов является не только достаточным, но и необходимым условием для того, чтобы приложенные к склерономной системе силы (19) были гироскопическими.

Примеры. 1. Кориолисовы. силы инерции для склерономной системы являются гироскопическими силами. Действительно, кориолисова сила инерции, прикладываемая к точке системы, определяется формулой

Здесь — масса точки — ее скорость в рассматриваемой неинерциальной системе осей координат, а - угловая скорость

вращения этой системы относительно некоторой инерциальной системы координат Но тогда

2. Пусть на твердое тело с неподвижной точкой О действуют силы с главным моментом где скаляр, и пусть — угловая скорость тела. Тогда приложенные к телу силы являются гироскопическими, так как их мощность равна нулю:

Если твердое тело обладает динамической симметрией, — момент инерции относительно оси симметрии, — угловая скорость «чистого вращения», направленная по оси симметрии, а — угловая скорость прецессионного движения, то момент называется гироскопическим. Таким образом, силы, создающие гироскопический момент, являются гироскопическими.

2°. Пусть

где матрица коэффициентов является симметрической

и пусть квадратичная форма положительна:

Тогда для склерономной системы мощность сил равна

и силы являются диссипативными.

В этом случае квадратичная форма

называется диссипативной функцией Релея. Легко видеть, что обобщенные силы (21) получаются из диссипативной функции Релея с помощью формул

Если система склерономна и потенциальная энергия не зависит явно от времени, то в силу равенств (14), (23) и (25)

Последняя формула указывает на физический смысл функции Релея: удвоенная функция Релея равна скорости убывания полной энергии.

Если функция Релея (24) является положительно определенной квадратичной формой от обобщенных скоростей, то говорят о полной диссипации энергии. В этом случае систему мы будем называть определенно-диссипативной. У такой системы, согласно формуле (26), полная энергия строго убывает.

В качестве примера рассмотрим приложенные к точкам системы силы сопротивления среды, пропорциональные первым степеням скоростей точек:

В этом случае

где