§ 38. Устойчивость по линейному приближению

В системе дифференциальных уравнений (нелинейных!)

разложим правые части в ряды по степеням отклонений

где — сумма всех членов разложения начиная с членов второго порядка относительно .

В стационарном случае -постоянные коэффициенты, а функции зависят от и не зависят от . В периодическом случае — периодические функции от с периодом , а нелинейные члены также периодичны относительно с периодом т.

Если в уравнениях (10 отбросить все нелинейные члены то получим линейную систему дифференциальных уравнений, которая называется линейным приближением для нелинейной системы (1).

В конце прошлого века в исследованиях Пуанкаре и Ляпунова было установлено, как в стационарном, так и в периодическом случае об устойчивости нулевого решения нелинейной системы (1) можно судить по линейному

приближению, а именно из асимптотической устойчивости нулевого решения линейного приближения следует асимптотическая устойчивость нулевого решения нелинейной системы. Это положение находит широкие применения, поскольку исследование линейных систем значительно проще, чем исследование нелинейных систем.

Мы ограничимся рассмотрением стационарного случая и в этом случае для доказательства высказанного утверждения запишем систему в матричном виде:

Здесь — квадратная матрица с постоянными элементами, — столбец с элементами Поскольку по предположению нулевое решение линейного приближения асимптотически устойчиво, то (см. § 37) все характеристические числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части

Условимся через обозначать «длину» вектора-столбца с компонентами

Поскольку каждый элемент столбца начинается с членов второго измерения, то

где постоянное число может быть выбрано сколь угодно малым, если ограничить изменение переменных достаточно малой окрестностью

Доказательство утверждения Пуанкаре и Ляпунова можно построить, опираясь на следующую лемму.

Лемма. Линейная система дифференциальных уравнений с помощью линейного неособенного преобразования переменных

может быть приведена к «треугольному» виду

где характеристические числа матрицы А, а модули «недиагональных» коэффициентов могут быть сделаны сколь угодно малыми за счет надлежащего выбора преобразования (5).

Преобразование (5) применим к нелинейной системе . В новых переменных система запишется так:

где столбец с элементами определяется равенством

и удовлетворяет неравенству

где число (как и число ) может быть сделано сколь угодно малым за счет выбора достаточно малой окрестности (и соответственно

Тогда в соответствии с уравнениями (7) и неравенствами (2) и (9) найдем:

т. е.

откуда

Выберем положительные числа и так, чтобы выполнялись неравенства а тогда из неравенства (10) следует, что

т. е. решение системы (7) асимптотически устойчиво. Но векторы х и у связаны между собой линейным преобразованием поэтому и решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство леммы. Покажем сначала, что с помощью преобразования вида (5) можно привести систему дифференциальных уравнений

к виду, в котором: 1) первая переменная не входит в правые части всех уравнений, начиная со второго, и 2) в первом уравнении коэффициент при равен характеристическому числу матрицы А, т. е. к следующему виду:

Для этого достаточно в качестве первого столбца матрицы взять собственный вектор соответствующий характеристическому числу а остальные столбцы матрицы выбрать так, чтобы вместе с они были линейно независимы (тогда ).

Действительно, преобразование может быть записано и так:

где — координаты вектора х в базисе Система (12) имеет решение

Поэтому преобразованная система дифференциальных уравнений

согласно равенству (14), имеет решение

что возможно лишь тогда, когда т. е. когда система (16) имеет вид (13).

Так как при линейном неособенном преобразовании характеристическое уравнение матрицы А не изменяется, то матрица имеет своими характеристическими числами остальные характеристических чисел матрицы А.

Применяя аналогичное преобразование к системе последних уравнений (13) и т. мы в конце концов с помощью неособенного линейного преобразования приведем исходную систему дифференциальных уравнений к виду

Наконец, сделаем последнее преобразование переменных

Тогда система (17) заменится системой (6), в которой недиагональные коэффициенты могут быть сделаны сколь угодно малыми по модулю, если выбрать число достаточно малым. Лемма доказана.