§ 6. Уравнения Лагранжа второго рода в независимых координатах

Приступая к выводу дифференциальных уравнений движения голономной системы в независимых координатах мы будем исходить из общего уравнения динамики

Вспомним полученное в предыдущем параграфе выражение для элементарной работы активных сил

где

Совершенно аналогично можно представить элементарную работу сил инерции

где по аналогии с выражением (3)

Но скорость

линейно зависит от Из этой формулы находим

С другой стороны, из того же равенства (6) получаем

Поэтому выражение (5) для может быть записано и так:

где Г — кинетическая энергия системы:

Общее уравнение динамики (1) нам дает

или, в силу равенств (2) и (4),

Так как - независимые координаты и поэтому — совершенно произвольные приращения координат то равенство (12) может иметь место тогда и только тогда, когда все коэффициенты при в уравнении (12) равны нулю. Поэтому общее уравнение динамики (12) эквивалентно системе уравнений

которые, согласно соотношениям (9), могут быть записаны в следующем виде:

Уравнения (14) носят название уравнений Лагранжа второго рода или уравнений Лагранжа в независимых координатах.

Величины называются обобщенными скоростями. Скорости точек системы выражаются через обобщенные скорости (а также через независимые координаты и время) с помощью формул (6). Величины называются обобщенными ускорениями. В левые части уравнений Лагранжа (14) после выполнения операции входят время обобщенные координаты обобщенные скорости и обобщенные ускорения . Обобщенные силы , стоящие в правых частях уравнений Лагранжа, обычно задаются как функции от

Уравнения Лагранжа (14) образуют систему из обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными функциями от независимого переменного Порядок этой системы равен Заметим, что система дифференциальных уравнений, определяющая движение голономной системы с степенями свободы, не может иметь порядок, меньший так как в силу произвольности начальных значений величин решение системы должно содержать, по крайней мере, произвольных постоянных. Таким образом, система уравнений Лагранжа в независимых координатах имеет наименьший возможный порядок.

В случае несвободной системы подлежат определению еще реакции Реакции не входят в уравнения Лагранжа. Это существенное преимущество уравнений Лагранжа. После того как уравнения Лагранжа проинтегрированы и найдены функции , определяют [подстановкой этих функций в формулы (2) на стр. 40] и, следовательно, После этого неизвестные реакции определяются из формул

В случае свободной системы материальных точек уравнения Лагранжа представляют собой компактную запись уравнений движения в произвольной системе координат.

Примеры. 1. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси . В качестве независимой координаты берем угол поворота Соответствующая обобщенная сила (см. пример 6 на стр. 45) равна вращающему моменту . С другой стороны, где — момент инерции тела относительно оси вращения.

Уравнение Лагранжа

после подстановки

принимает вид

Это дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

2. Двойной математический маятник, движущийся в плоскости (рис. 24). Составим выражение для элементарной работы

где

Вычисляя находим:

и

Рис. 24.

С другой стороны,

Первое уравнение Лагранжа

имеет вид

Предоставляем читателю составить второе уравнение, соответствующее координате

3. Требуется определить дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в сферических координатах (см. пример 3 на стр. 43 и рис. 22). Скорость точки равна векторной сумме скоростей: 1) радиальной; 2) вращательной от вращения радиуса в плоскости меридиана и 3) вращательной от вращения плоскости меридиана. Слагаемые скорости попарно ортогональны, и потому

Для нахождения обобщенной силы дадим точке перемещение вдоль радиуса. Тогда где — проекция приложенной силы на направление радиуса. Отсюда

Теперь дадим точке элементарное перемещение по меридиану. Тогда где проекция силы на касательную к меридиану. Поэтому

Аналогично

где — проекция силы на касательную к параллели.

Уравнение Лагранжа для координаты

принимает вид

Для координат находим уравнения

Мы получили три дифференциальных уравнения движения свободной материальной точки в сферических координатах.