Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 46. Диссипативная функция Релея. Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системыОтметим важный частный случай, когда асимптотическая устойчивость положения равновесия предопределена и нет необходимости прибегать к критериям устойчивости, изложенным в § 39. Пусть в выражениях для обобщенных сил [см. равенство (6) на стр. 260]
составленные из коэффициентов матрицы Тогда, вводя в рассмотрение потенциальную энергию П и диссипативную функцию Релея
мы формулы (1) перепишем гак:
На систему, помимо потенциальных сил Таким образом, диссипативные силы, определяемые функцией Релея, не только не нарушают устойчивости положения равновесия консервативной системы, но и делают (в некоторых случаях) это положение асимптотически устойчивым. В рассматриваемом случае можно установить простые формулы для оценки корней векового уравнения. Будем снова искать решение вида ае. Для определения столбца а получаем уравнение [см. стр. 261]
или в развернутой записи
Умножая обе части
или в сокращенных обозначениях
где Таким образом, любой корень Если вековое уравнение имеет комплексный корень
Комплексно сопряженным корням
Если мы имеем два вещественных корня
Меняя ролями векторы
Посмотрим теперь, как изменяются главные колебания консервативных систем под действием малых диссипативных сил. Введем нормальные координаты
где Составим уравнения Лагранжа
Подставляя сюда
и сокращая на получаем систему линейных уравнений
Приравнивая нулю определитель этой системы, найдем вековое уравнение
Раскрывая этот определитель и отбрасывая члены, содержащие произведения малых коэффициентов
Корни векового уравнения в первом приближении имеют вид
Найдем амплитуды Подставив это значение
Из этой системы определяем отношение —
Формулы (19) показывают, что
Взяв линейную комбинацию из данного и комплексно сопряженного колебания, получим «главное» колебание, соответствующее корням
Аналогичные выражения мы получим и для других главных колебаний. Таким образом, в перлом приближении: 1) малье диссипативные силы не изменяют частот консервативной системы; 2) при этих силах колебания затухают при
|
1 |
Оглавление
|