§ 46. Диссипативная функция Релея. Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы

Отметим важный частный случай, когда асимптотическая устойчивость положения равновесия предопределена и нет необходимости прибегать к критериям устойчивости, изложенным в § 39.

Пусть в выражениях для обобщенных сил [см. равенство (6) на стр. 260]

составленные из коэффициентов матрицы являются симметрическими и положительно определенными.

Тогда, вводя в рассмотрение потенциальную энергию П и диссипативную функцию Релея (см. § 8), которые задаются положительно определенными квадратичными формами

мы формулы (1) перепишем гак:

На систему, помимо потенциальных сил действуют еще диссипативные силы определяемые функцией Релея. В § 8 было выяснено, что в этом случае система является определенно-диссипативной. Так как, согласно первой из формул (2), потенциальная энергия в положении равновесия имеет строгий минимум и положение равновесия является изолированным, то (см. теорему на стр. 202) положение равновесия является асимптотически устойчивым.

Таким образом, диссипативные силы, определяемые функцией Релея, не только не нарушают устойчивости положения равновесия консервативной системы, но и делают (в некоторых случаях) это положение асимптотически устойчивым.

В рассматриваемом случае можно установить простые формулы для оценки корней векового уравнения. Будем снова искать решение вида ае. Для определения столбца а получаем уравнение [см. стр. 261]

или в развернутой записи

Умножая обе части уравнения (4) на — величина, комплексно сопряженная с и суммируя по находим

или в сокращенных обозначениях

где

Таким образом, любой корень векового уравнения удовлетворяет квадратному уравнению (5) с положительными коэффициентами. Отсюда сразу следует, что

Если вековое уравнение имеет комплексный корень то это же уравнение имеет и комплексно сопряженный корень — 18. Числа корни квадратного уравнения (5). Поэтому, полагая — вещественные векторы-столбцы), можно написать:

Комплексно сопряженным корням соответствуют комплексно сопряженные колебания Сумму соответствующих членов в выражении для [см. формулу (12) на стр. 261] можно привести к вещественному виду при комплексно сопряженных значениях произвольных постоянных

Если мы имеем два вещественных корня и соответствующие им столбцы обозначим через то, умножая обе части уравнения (4) на (вместо получаем вместо равенства (5) следующее равенство:

Меняя ролями векторы , заключаем, что число также удовлетворяет уравнению (8). Поэтому

Посмотрим теперь, как изменяются главные колебания консервативных систем под действием малых диссипативных сил. Введем нормальные координаты . В этих координатах

где — главные частоты консервативной системы, а коэффициенты в выражении (11) для функции Релея при малы (квадратами и произведениями этих величин можно пренебрегать). Из положительной определенности квадратичной формы (11) следует, что

Составим уравнения Лагранжа

Подставляя сюда

и сокращая на получаем систему линейных уравнений

Приравнивая нулю определитель этой системы, найдем вековое уравнение

Раскрывая этот определитель и отбрасывая члены, содержащие произведения малых коэффициентов представим вековое уравнение в следующем виде:

Корни векового уравнения в первом приближении имеют вид

Найдем амплитуды для

Подставив это значение в коэффициенты последних уравнений (14) и разделив левые части уравнений на получим:

Из этой системы определяем отношение — отбрасывая члены второго и более высокого порядков малости (относи-тельно

Формулы (19) показывают, что малые вещественные величины Корню соответствует «комплексное колебание» (полагаем

Взяв линейную комбинацию из данного и комплексно сопряженного колебания, получим «главное» колебание, соответствующее корням

Аналогичные выражения мы получим и для других главных колебаний.

Таким образом, в перлом приближении: 1) малье диссипативные силы не изменяют частот консервативной системы; 2) при этих силах колебания затухают при ; 3) в главном колебании все координаты малы по сравнению с координатой а отличаются от нее по фазе на четверть периода .