Главная > Лекции по аналитической механике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 46. Диссипативная функция Релея. Влияние малых диссипативных сил на колебания консервативной системы

Отметим важный частный случай, когда асимптотическая устойчивость положения равновесия предопределена и нет необходимости прибегать к критериям устойчивости, изложенным в § 39.

Пусть в выражениях для обобщенных сил [см. равенство (6) на стр. 260]

составленные из коэффициентов матрицы являются симметрическими и положительно определенными.

Тогда, вводя в рассмотрение потенциальную энергию П и диссипативную функцию Релея (см. § 8), которые задаются положительно определенными квадратичными формами

мы формулы (1) перепишем гак:

На систему, помимо потенциальных сил действуют еще диссипативные силы определяемые функцией Релея. В § 8 было выяснено, что в этом случае система является определенно-диссипативной. Так как, согласно первой из формул (2), потенциальная энергия в положении равновесия имеет строгий минимум и положение равновесия является изолированным, то (см. теорему на стр. 202) положение равновесия является асимптотически устойчивым.

Таким образом, диссипативные силы, определяемые функцией Релея, не только не нарушают устойчивости положения равновесия консервативной системы, но и делают (в некоторых случаях) это положение асимптотически устойчивым.

В рассматриваемом случае можно установить простые формулы для оценки корней векового уравнения. Будем снова искать решение вида ае. Для определения столбца а получаем уравнение [см. стр. 261]

или в развернутой записи

Умножая обе части уравнения (4) на — величина, комплексно сопряженная с и суммируя по находим

или в сокращенных обозначениях

где

Таким образом, любой корень векового уравнения удовлетворяет квадратному уравнению (5) с положительными коэффициентами. Отсюда сразу следует, что

Если вековое уравнение имеет комплексный корень то это же уравнение имеет и комплексно сопряженный корень — 18. Числа корни квадратного уравнения (5). Поэтому, полагая — вещественные векторы-столбцы), можно написать:

Комплексно сопряженным корням соответствуют комплексно сопряженные колебания Сумму соответствующих членов в выражении для [см. формулу (12) на стр. 261] можно привести к вещественному виду при комплексно сопряженных значениях произвольных постоянных

Если мы имеем два вещественных корня и соответствующие им столбцы обозначим через то, умножая обе части уравнения (4) на (вместо получаем вместо равенства (5) следующее равенство:

Меняя ролями векторы , заключаем, что число также удовлетворяет уравнению (8). Поэтому

Посмотрим теперь, как изменяются главные колебания консервативных систем под действием малых диссипативных сил. Введем нормальные координаты . В этих координатах

где — главные частоты консервативной системы, а коэффициенты в выражении (11) для функции Релея при малы (квадратами и произведениями этих величин можно пренебрегать). Из положительной определенности квадратичной формы (11) следует, что

Составим уравнения Лагранжа

Подставляя сюда

и сокращая на получаем систему линейных уравнений

Приравнивая нулю определитель этой системы, найдем вековое уравнение

Раскрывая этот определитель и отбрасывая члены, содержащие произведения малых коэффициентов представим вековое уравнение в следующем виде:

Корни векового уравнения в первом приближении имеют вид

Найдем амплитуды для

Подставив это значение в коэффициенты последних уравнений (14) и разделив левые части уравнений на получим:

Из этой системы определяем отношение — отбрасывая члены второго и более высокого порядков малости (относи-тельно

Формулы (19) показывают, что малые вещественные величины Корню соответствует «комплексное колебание» (полагаем

Взяв линейную комбинацию из данного и комплексно сопряженного колебания, получим «главное» колебание, соответствующее корням

Аналогичные выражения мы получим и для других главных колебаний.

Таким образом, в перлом приближении: 1) малье диссипативные силы не изменяют частот консервативной системы; 2) при этих силах колебания затухают при ; 3) в главном колебании все координаты малы по сравнению с координатой а отличаются от нее по фазе на четверть периода .

1
Оглавление
email@scask.ru