Главная > Лекции по аналитической механике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 25. Свободные канонические преобразования

Проведем более подробное исследование так называемых свободных канонических преобразований. Эти преобразования характеризуются дополнительно неравенством

обеспечивающим независимость величин которые теперь могут быть выбраны в качестве основных

переменных. Действительно, это неравенство позволяет из первых уравнений (1) § 24 выразить Обобщенные; импульсы через величин , следовательно, позволяет представить любую функцию от переменных в виде функции от переменных . В этом случае можно считать, что производящая функция представлена в виде функции 5 от этих переменных:

Тогда основное тождество (9) предыдущего параграфа запишется так:

Приравнивая слева и справа коэффициенты при получим следующие формулы:

Уравнения (3) определяют рассматриваемое каноническое преобразование. Покажем, что они могут быть приведены к виду (1) § 24.

Частные производные , стоящие в левых частях первых уравнений (3), как функции величин независимы, потому что в силу формул (3) зависимость

перешла бы в равенство

что возможно лишь при так как координаты точки фазового пространства -независимые величины. Из независимости производных , рассматриваемых как функции переменных следует, что якобиан этих функций не равен тождественно нулю. Таким образом, для производящей функции 5 свободного канонического преобразования должен быть отличен от нуля определитель

Из неравенства (5) следует, что первые уравнений (3) можно разрешить относительно и таким образом все новые фазовые переменные выразить через старые переменные . Полученное таким образом преобразование вида (1) будет обратимым, т. е. для него так как в силу неравенства (5) последние равенств (3) можно разрешить относительно , следовательно, выразить все через . Таким образом, уравнения (3) определяют свободное каноническое преобразование с данной производящей функцией и с данной валентностью Формулы же (4) устанавливают простую связь между функциями Гамильтона .

Перебирая различные производящие функции удовлетворяющие условию (5), и различные валентности с мы с помощью формул (3) можем охватить все свободные канонические преобразования.

Для унивалентных свободных канонических преобразований формулы (3) и (4) принимают более простой вид

и

Последнее -енство показывает, что после применения одного и того же свободного унивалентного канонического преобразования к различным гамильтоновым системам во всех случаях разность между Н и Н будет одной и той же (равной g).

Из равенства (4) следует, что тогда и только тогда, когда т. е. когда производящая функция 5 не зависит явно от . В этом случае в силу равенств (3) время не будет входить явно в формулы канонического преобразования. При таких канонических преобразованиях функция Н существенно не меняется, она умножается только на константу с. Поэтому если мы желаем получить новую систему с существенно более простой функцией Гамильтона, мы обязательно должны взять свободное каноническое преобразование, содержащее время как параметр.

Примеры. 1. На стр. 147 были рассмотрены три канонических преобразования:

Преобразования 2) и 3) являются свободными. Они имеют производящие функции и валентности соответственно Преобразование же 1) не является свободным. Для него

2. Рассмотрим произвольное аффинное преобразование фазовой плоскости (здесь ):

Подставим правые части равенств (8) в основное тождество (9) на стр. 149. Поскольку переменная не входит в правые части (8), мы и будем искать в виде функции, не зависящей от времени явно: Тогда основное тождество примет вид

или

Левая часть этого равенства будет полным дифференциалом при условии, что

Таким образом, преобразование (8) является каноническим с валентностью с, равной определителю преобразования, и с производящей функцией

Это преобразование будет свободным, если

3. Преобразование является свободным унивалентным каноническим преобразованием с производящей функцией

Для натуральной системы координаты определяли положение системы, а совместно с импульсами определяли состояние системы, т. е. положение и скорости ее точек. При каноническом преобразовании общего тида эта специфика координат теряется. Величины Уже не определяют положения системы, а только вместе с определяют состояние системы. Переменные будут по-прежнему определять положение системы лишь в частном случае точечного канонического преобразования, при котором функции фактически не содержат импульсов:

Заметим, что в дальнейшем преобразование произвольной системы Гамильтона к системе с функцией Н простой структуры удается осуществить с помощью свободного канонического преобразования. Свободное же каноническое преобразование не является точечным. Таким образом, неточечные канонические преобразования играют существенную роль в теории гамильтоновых систем.

1
Оглавление
email@scask.ru