§ 25. Свободные канонические преобразования

Проведем более подробное исследование так называемых свободных канонических преобразований. Эти преобразования характеризуются дополнительно неравенством

обеспечивающим независимость величин которые теперь могут быть выбраны в качестве основных

переменных. Действительно, это неравенство позволяет из первых уравнений (1) § 24 выразить Обобщенные; импульсы через величин , следовательно, позволяет представить любую функцию от переменных в виде функции от переменных . В этом случае можно считать, что производящая функция представлена в виде функции 5 от этих переменных:

Тогда основное тождество (9) предыдущего параграфа запишется так:

Приравнивая слева и справа коэффициенты при получим следующие формулы:

Уравнения (3) определяют рассматриваемое каноническое преобразование. Покажем, что они могут быть приведены к виду (1) § 24.

Частные производные , стоящие в левых частях первых уравнений (3), как функции величин независимы, потому что в силу формул (3) зависимость

перешла бы в равенство

что возможно лишь при так как координаты точки фазового пространства -независимые величины. Из независимости производных , рассматриваемых как функции переменных следует, что якобиан этих функций не равен тождественно нулю. Таким образом, для производящей функции 5 свободного канонического преобразования должен быть отличен от нуля определитель

Из неравенства (5) следует, что первые уравнений (3) можно разрешить относительно и таким образом все новые фазовые переменные выразить через старые переменные . Полученное таким образом преобразование вида (1) будет обратимым, т. е. для него так как в силу неравенства (5) последние равенств (3) можно разрешить относительно , следовательно, выразить все через . Таким образом, уравнения (3) определяют свободное каноническое преобразование с данной производящей функцией и с данной валентностью Формулы же (4) устанавливают простую связь между функциями Гамильтона .

Перебирая различные производящие функции удовлетворяющие условию (5), и различные валентности с мы с помощью формул (3) можем охватить все свободные канонические преобразования.

Для унивалентных свободных канонических преобразований формулы (3) и (4) принимают более простой вид

и

Последнее -енство показывает, что после применения одного и того же свободного унивалентного канонического преобразования к различным гамильтоновым системам во всех случаях разность между Н и Н будет одной и той же (равной g).

Из равенства (4) следует, что тогда и только тогда, когда т. е. когда производящая функция 5 не зависит явно от . В этом случае в силу равенств (3) время не будет входить явно в формулы канонического преобразования. При таких канонических преобразованиях функция Н существенно не меняется, она умножается только на константу с. Поэтому если мы желаем получить новую систему с существенно более простой функцией Гамильтона, мы обязательно должны взять свободное каноническое преобразование, содержащее время как параметр.

Примеры. 1. На стр. 147 были рассмотрены три канонических преобразования:

Преобразования 2) и 3) являются свободными. Они имеют производящие функции и валентности соответственно Преобразование же 1) не является свободным. Для него

2. Рассмотрим произвольное аффинное преобразование фазовой плоскости (здесь ):

Подставим правые части равенств (8) в основное тождество (9) на стр. 149. Поскольку переменная не входит в правые части (8), мы и будем искать в виде функции, не зависящей от времени явно: Тогда основное тождество примет вид

или

Левая часть этого равенства будет полным дифференциалом при условии, что

Таким образом, преобразование (8) является каноническим с валентностью с, равной определителю преобразования, и с производящей функцией

Это преобразование будет свободным, если

3. Преобразование является свободным унивалентным каноническим преобразованием с производящей функцией

Для натуральной системы координаты определяли положение системы, а совместно с импульсами определяли состояние системы, т. е. положение и скорости ее точек. При каноническом преобразовании общего тида эта специфика координат теряется. Величины Уже не определяют положения системы, а только вместе с определяют состояние системы. Переменные будут по-прежнему определять положение системы лишь в частном случае точечного канонического преобразования, при котором функции фактически не содержат импульсов:

Заметим, что в дальнейшем преобразование произвольной системы Гамильтона к системе с функцией Н простой структуры удается осуществить с помощью свободного канонического преобразования. Свободное же каноническое преобразование не является точечным. Таким образом, неточечные канонические преобразования играют существенную роль в теории гамильтоновых систем.