§ 39. Критерии асимптотической устойчивости линейных систем

В предыдущих двух параграфах было установлено, что в стационарном случае нулевое решение произвольной

(нелинейной) системы дифференциальных уравнений в отклонениях асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения, составленного для матрицы коэффициентов линейного приближения, имеют отрицательные вещественные части. Поэтому приобретают большую практическую значимость необходимые и достаточные условия для того, чтобы все корни алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами

имели отрицательные вещественные части.

Обозначим через вещественные, а через — комплексные корни уравнения (1) и предположим, что в комплексной плоскости все эти корни лежат слева от мнимой оси, т. е. что

тогда

Так как, согласно неравенствам (2), каждый множитель в последней части равенства (3) имеет положительные коэффициенты, то и в уравнении (1) все коэффициенты положительны. Положительность всех коэффициентов — необходимое (при ), но отнюдь не достаточное условие для того, чтобы все корни уравнения (1) были расположены слева от мнимой оси.

В 1875 г. уже известный читателю английский механик Раус дал алгоритм, с помощью которого по коэффициентам многочлена можно узнать, является ли он «устойчивым», т. е. имеют ли все его корни отрицательные вещественные части. В 1895 г. немецкий математик Гурвиц независимо от

Рауса установил тот же критерий в видоизмененной форме с помощью определителей («определителей Гурвица»)

(Здесь всюду следует положить при

Условие Рауса — Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (1) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства

Если коэффициенты уравнения (1) заданы как числа, то условия (5) легко проверяются, рели же коэффициенты уравнения (1) содержат буквенные параметры, то вычисление определителей при большом уже вызывает затруднение.

Поэтому представляют интерес другие условия, установленные в 1914 г. французскими математиками Льенаром и Шипаром. В этих условиях число детерминантны неравенств примерно вдвое меньше, чем в условиях (5) Рауса — Гурвица.

Условия Льенара — Шипара. Для того чтобы многочлен имел все корни с отрицательными вещественными частями, необходимо и достаточно, чтобы

1) все коэффициенты многочлена были положительны

2) имела место детерминантные неравенства

(здесь, как и ранее, обозначает определитель Гурвица порядка.

Теперь мы познакомимся с геометрическим критерием устойчивости.

Заменим в равенстве

на и будем изменять от до Вычислим соответствующее приращение угла

Теперь заметим, что (рис. 47)

Рис. 47.

Поэтому, обозначая через число корней, лежащих слева и соответственно справа от мнимой оси будем иметь:

Рассмотрим кривую, описываемую аффиксом комплексного числа при изменении от до Эта кривая распадается на две ветви: на одной на другой Одна ветвь получается из другой зеркальным отображением относительно вещественной оси, поскольку — комплексно сопряженные числа. Поэтому, обозначив через приращение при изменении от 0 до получим

Отсюда видно, что все корни будут расположены слева от мнимой оси тогда и только тогда, когда

Геометрический критерий устойчивости. Для того чтобы многочлен был устойчивым, т. е. чтобы все его корни были расположены слева от мнимой оси, необходимо и достаточно.

1) чтобы годограф при изменении от 0 до не проходил через нулевую точку и

2) чтобы для этого годографа

где — степень многочлена (см. рис. 48 для ).

Рис. 48.

Заметим, что для устойчивого многочлена аргумент изменяется монотонно при изменении и от 0 до Это следует из формулы

поскольку для такого многочлена каждое слагаемое в правой части является монотонно возрастающей функцией от

Пример. Пусть Тогда где

Для построения годографа замечаем, что обращается в нуль при и при квадраты и определяются из квадратного уравнения:

Нетрудно убедиться в том, что Кроме того,

Таким образом, годограф при начинается на положительной вещественной оси, идет сначала вверх, пересекает положительную мнимую ось, затем отрицательную вещественную ось (при ), отрицательную мнимую ось и, наконец, снова положительную вещественную ось (при ). При годограф не пересекает осей координат и уходит в бесконечность в пятом квадранте

Таким образом

т. е. — устойчивый многочлен.

К этому же выводу можно было бы прийти, исходя из критерия Льенара — Шипара, поскольку в все коэффициенты положительны и