Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 22. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Теорема Ли Хуа-чжунаРассмотрим теперь интеграл
Этот интеграл был впервые введен Пуанкаре. Позже Картан распространил этот интеграл и на контуры, состоящие из неодновременных состояний, введя дополнительное слагаемое
Рис. 36. Интегральный инвариант Пуанкаре
Заметим, что один из контуров Вместо фазового пространства рассмотрим отдельно
где
Рис. 37. Тогда
Таким образом, при движении системы меняются контуры В выражение для Нетрудно доказать и следующее положение. Если для некоторой системы дифференциальных уравнений
интеграл Действительно, в этом случае
Отсюда следует, что выражение, стоящее под знаком интеграла, является полным виртуальным дифференциалом некоторой функции —
т. е.
что и требовалось доказать. Отметим еще следующие термины: интеграл Пуанкаре—Картана I и интеграл Пуанкаре
где интеграл в правой части берется по поверхности Эта формула в применении к интегралу
Известно, что в фазовом
Нам в дальнейшем понадобится теорема Ли Хуа-чжуна для интегрального инварианта первого порядка; поэтому мы формулируем эту теорему для произвольного Теорема Ли Хуа-чжуна. Если
— универсальный относительный интегральный инвариант, то
где с — постоянная, а
— универсальный интегральный инвариант. Интегрирование ведется по замкнутому контуру в фазовой плоскости
Общее решение этой системы имеет вид
где Пусть
— уравнения замкнутого контура в фазовой плоскости (рис. 38). Точки, которые в момент
Рис. 38. Подставляя эти функции вместо
где
Последний интеграл равен нулю при любом значении переменной
или после элементарных преобразований
Так как функцию
т. е.
Тогда
и, следовательно, существует функция
Но тогда
и потому
что и требовалось доказать. При 1 идея доказательства сохраняется, хотя само доказательство становится более сложным.
|
1 |
Оглавление
|