§ 22. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре. Теорема Ли Хуа-чжуна

Рассмотрим теперь интеграл вдоль контура С, состоящего из одновременных состояний системы. Такой контур получается, если трубку прямых путей (см. рис. 33 на стр. 116) рассечь гиперплоскостью Для такого контура и основной интегральный инвариант принимает вид

Этот интеграл был впервые введен Пуанкаре. Позже Картан распространил этот интеграл и на контуры, состоящие из неодновременных состояний, введя дополнительное слагаемое

Рис. 36.

Интегральный инвариант Пуанкаре не меняет своего значения, если контур С смещается вдоль трубки прямых путей, переходя в контур С, состоящий снова из одновременных состояний. Интеграл удобно рассматривать в обычном (нерасширенном) -мерном фазовом пространстве . В этом пространстве контурам С и С (рис. 33) соответствуют контуры и охватывающие трубку «прямых» траекторий (рис. 36); при этом

Заметим, что один из контуров и например можно выбрать совершенно произвольно. Можно считать, что точки контура являются различными состояниями системы в один и тот же момент времени тогда соответствующие состояния системы в момент времени составят контур

Вместо фазового пространства рассмотрим отдельно фазовых плоскостей Спроектируем произвольный замкнутый контур расположенный в фазовом пространстве, на эти плоскости (рис. 37). Получим контуры . Тогда для любого

где — площадь области, ограниченной контуром в плоскости . Направление обхода контура индуцирует направление обхода на проекции . В формуле (2) перед берется знак плюс, если контур обходится по часовой стрелке (т. е. в направлении кратчайшего поворота оси к оси ), и знак минус — в противном случае.

Рис. 37.

Тогда

Таким образом, при движении системы меняются контуры и изменяются и площади но алгебраическая сумма (3) этих площадей остается неизменной. Это и есть геометрическая интерпретация инвариантности интеграла Пуанкаре.

В выражение для не входит Н. Следовательно, интеграл Пуанкаре является инвариантом для любой гамильтоновой системы. Поэтому интеграл называется универсальным интегральным инвариантом.

Нетрудно доказать и следующее положение.

Если для некоторой системы дифференциальных уравнений

интеграл является инвариантом, то система (4) является гамильтоновой.

Действительно, в этом случае

Отсюда следует, что выражение, стоящее под знаком интеграла, является полным виртуальным дифференциалом некоторой функции —

т. е.

что и требовалось доказать.

Отметим еще следующие термины: интеграл Пуанкаре—Картана I и интеграл Пуанкаре называются относительными интегральными инвариантами первого порядка. Термин «относительный» означает, что область интегрирования представляет собой замкнутый контур; первый порядок означает, что в выражение, стоящее под знаком интеграла, дифференциалы входят линейно. Заметим, что относительный интегральный инвариант первого порядка при помощи формулы Стокса может быть представлен в виде абсолютного интегрального инварианта второго порядка

где интеграл в правой части берется по поверхности ограниченной замкнутом контуром

Эта формула в применении к интегралу дает

Известно, что в фазовом -мерном пространстве существуют следующие универсальные относительные интегральные инварианты нечетных порядков и абсолютные интегрльщле инварианты четных порядков,

китайский ученый Ли Хуа-чжун доказал единственность этих универсальных интегральных инвариантов. Он показал, что всякий Другой универсальный интегральный инвариант отличается портоянным множителем от одного из перечисленных интегралов.

Нам в дальнейшем понадобится теорема Ли Хуа-чжуна для интегрального инварианта первого порядка; поэтому мы формулируем эту теорему для произвольного и докажем ее для

Теорема Ли Хуа-чжуна. Если

— универсальный относительный интегральный инвариант, то

где с — постоянная, а — интеграл Пуанкаре. Доказательство. Пусть

— универсальный интегральный инвариант. Интегрирование ведется по замкнутому контуру в фазовой плоскости Пусть, далее, дана какая-либо гамильтонова система дифференциальных уравнений с функцией

Общее решение этой системы имеет вид

где — начальные значения при

Пусть

— уравнения замкнутого контура в фазовой плоскости (рис. 38). Точки, которые в момент находились на контуре в произвольный другой момент времени образуют контур Параметрические уравнения этого контура получаются из равенств (8), если туда вместо подставить их выражения (9). Сделав это, получим:

Рис. 38.

Подставляя эти функции вместо и в интеграл Г, мы получим Г как функцию параметра Из инвариантности Г следует, что Дифференцируя под знаком интеграла и интегрируя по частям, находим

где

Последний интеграл равен нулю при любом значении переменной рассматриваемой как параметр, и при произвольном контуре интегрирования. Поэтому выражение, стоящее под знаком интеграла, должно быть полным дифференциалом относительно переменных и Отсюда

или после элементарных преобразований

Так как функцию можно выбрать совершенно произвольно, то

т. е.

Тогда

и, следовательно, существует функция такая, что

Но тогда

и потому

что и требовалось доказать.

При 1 идея доказательства сохраняется, хотя само доказательство становится более сложным.