§ 23. Инвариантность объема в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля

Рассмотрим «полный» абсолютный интегральный инвариант

Инвариантность этого интеграла означает инвариантность фазового объема в -мерном фазовом пространстве и устанавливается следующим образом.

Запишем конечные уравнения движения, получающиеся после интегрирования уравнений Гамильтона, в следующем виде:

где — начальные значения при

Выберем в фазовом пространстве некоторый объем и примем каждую точку из этого объема за начальную (при Тогда преобразование (2) к моменту времени переводит объем в объем При этом

где

т. е. является якобианом, составленным из частных производных от по начальным данным . Без нарушения общности, мы можем считать, что якобиан, стоящий в равенстве (3) под знаком интеграла, положителен, и опустить знак абсолютной величины.

При этот якобиан равен 1, поскольку при этом значении все При изменении якобиан изменяется непрерывно, не обращаясь в нуль, так как особые точки, в которых этот якобиан мог бы обратиться в нуль, исключаются из рассмотрения, т. е. предполагается, что в рассматриваемом объеме таких точек нет. Тогда якобиан положителен в этом объеме.

Дифференцируя по под знаком интеграла, получаем:

Подсчитаем производную от якобиана I:

где — определитель, получаемый из якобиана дифференцированием строки. Учитывая теперь, что

Находим:

и

поэтому

Таким образом, Так как начальный момент можно выбрать совершенно произвольно, то для любого

т. е. величина фазового объема не изменяется при сдвиге точек этого объема из состояний, занимаемых в момент времени в состояния, занимаемые в произвольный другой момент времени

Из инвариантности фазового объема вытекает одна из основных теорем статистической механики — теорема Лиувилля.

Представим себе, что имеется очень большое число совершенно одинаковых «экземпляров» системы, отличающихся друг от друга только начальными состояниями . Все эти «экземпляры» образуют статистический ансамбль.

Примером статистического ансамбля является совокупность молекул газа, находящегося в данном объеме.

Каждому элементу объема фазового пространства можно отнести «массу» характеризующую количество «экземпляров», приходящихся на данный элемент объема . В силу доказанной инвариантности объема в фазовом пространстве величина не меняется с течением времени. По своему физическому смыслу не изменяется и величина так как экземпляры, находившиеся в объеме в какой-то момент времени, будут перемещаться вместе с этим объемом. Поэтому при движении остается неизменной плотность

статистического ансамбля

т. е.

В развернутом виде равенство (6) может быть записано так (см. § 15):

где — скобки Пуассона. Согласно равенству (6) функция является интегралом движения.

Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема Лиувилля. Плотность статистического ансамбля всегда является интегралом движения.

Так, например, для консервативной системы любая функция от энергии системы может служить плотностью статистического ансамбля.