§ 29. Структура произвольного канонического преобразования

В этом и в следующих параграфах этой главы мы приведем некоторые дополнительные сведения о канонических преобразованиях.

Для произвольного канонического преобразования можно установить формулы, определяющие это преобразование с помощью производящей функции и валентности с, подобно тому как это было сделано в § 25 для свободного канонического преобразования.

Пусть, например, из величин

связанных между собой каноническим преобразованием

можно в качейтве независимых взять величины

Тогда с помощью тождеств

можно основное определяющее равенство (9) на стр. 149 записать в виде

где

Поскольку все величин (1) выражаются через величин (3), то мы можем считать, что есть функция от величин (3). Тогда из тождества (4) легко находим

Формулы (6) эквивалентны формулам (2) и определяют рассматриваемое каноническое преобразование с помощью валентности с и производящей функции от независимых величин (3).

Ниже мы докажем математическую лемму, согласно которой из величин (1), связанных преобразованием (2), всегда можно выбрать независимых так, чтобы среди выбранных величин не было ни одной пары сопряженных или

Тогда при надлежащей перенумерации координат и соответственной перенумерации импульсов выбранные независимых величин можно представить в виде (3). Поэтому для произвольного канонического преобразования имеют место формулы, которые могут отличаться от формул (6) лишь нумерацией величин (1).

Подобно тому как это было сделано в § 25 для свободного канонического преобразования, можно показать, что и для произвольного канонического преобразования определитель порядка и, составленный из смешанных производных второго порядка от производящей функции отличен от нуля. Поэтому первые уравнений (6) могут быть разрешены относительно величин . После подстановки полученных выражений в последние уравнений (6) мы представим уравнения канонического преобразования (6) в виде (2).

Сформулируем и докажем лемму, на которую мы опирались при получении структурных формул (6) для произвольного канонического преобразования.

Лемма. Если даны независимых функций от независимых величин то из величин всегда можно выбрать независимых так, чтобы среди них не было ни одной пары сопряженных или

Доказательство. Допустим противное, т. е. допустим, что любые из рассматриваемых величин, среди которых нет ни одной пары сопряженных, всегда зависимы. Тогда выберем независимых из данных величин таким образом, чтобы первые не имели значка а последние имели этот значок, причем выберем эти величин так, чтобы среди них не было сопряженных и чтобы число имело наибольшее из всех возможных значений. Согласно допущению

Поскольку, не изменяя ни условия, ни утверждения леммы, можно поменять ролями две сопряженные величины или а также сделать произвольную перестановку индексов как у величин так и у величин то можно считать, что выбранными являются следующие величин:

Ряд величин (7) назовем максимальным базисом. Очевидно, что

где - знак функциональной зависимости.

Не нарушая общности, можно считать, что из величин

не входящих в формулы (8), величины

являются функциями от базисных величин (7), а каждая из величин

независима по отношению к базису. Таким образом,

Покажем теперь, что величины сопряженные «независимым» величинам (10), фактически не входят

в правые части формул (8). Действительно, пусть, например, фактически входит в выражение для некоторого

Тогда система величин эквивалентна базису (7):

т. e. каждая из величин, входящих в одну из двух систем, выражается через величины другой и наоборот Поэтому величин

независимы, что противоречит «максимальности» базиса (7).

Таким образом, формулы (8) могут быть записаны так:

Обозначим через все величины, фактически входящие хотя бы в одну из правых частей формул (13); тогда

Покажем теперь, что величины фактически не входят в те формулы (11), где Допустим противное. Пусть, например, фактически входит в выражение (11) для где

Но величина фактически входит в одно из выражений (14); пусть, например, она входит в выражение для

Тогда

и, следовательно, величин

независимы, что противоречит «максимальности» базиса (7).

Таким образом,

Обозначим через те из величин которые фактически входят в правые части формул (16). Тогда

Теперь покажем, что величины фактически не входят в выражения (11) для где Действительно, пусть, например, фактически входит в выражение для

Но величина фактически входит в одно из выражений (17), например в выражение для Тогда величина фактически входит в одно из выражений (14), например в выражение для

В этом случае имеет место эквивалентность между системой величин

и базисом (7). Поэтому величина независима от величин (18). Прибавляя к величинам (18), получим базис из величин, что невозможно.

Таким образом,

Обозначим через те из величин которые фактически входят в формулы (19).

Равенства (19) запишем так:

Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока одновременно не будут достигнуты равенства тогда

Вместо формул (14), (17), (20), ... , (21) можно написать

Пусть теперь Тогда из формул (23) можно исключить и получить зависимость между что противоречит условию леммы.

Если то Тогда из формул (22) и (24) можно исключить все и получить зависимость между что опять противоречит условию.

Таким образом, допущение о существовании максимального базиса (7), в котором привело нас к противоречию. Лемма доказана.