Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 29. Структура произвольного канонического преобразованияВ этом и в следующих параграфах этой главы мы приведем некоторые дополнительные сведения о канонических преобразованиях. Для произвольного канонического преобразования можно установить формулы, определяющие это преобразование с помощью производящей функции и валентности с, подобно тому как это было сделано в § 25 для свободного канонического преобразования. Пусть, например, из
связанных между собой каноническим преобразованием
можно в качейтве
Тогда с помощью тождеств
можно основное определяющее равенство (9) на стр. 149 записать в виде
где
Поскольку все
Формулы (6) эквивалентны формулам (2) и определяют рассматриваемое каноническое преобразование с помощью валентности с и производящей функции Ниже мы докажем математическую лемму, согласно которой из
Подобно тому как это было сделано в § 25 для свободного канонического преобразования, можно показать, что и для произвольного канонического преобразования определитель порядка и, составленный из смешанных производных второго порядка от производящей функции Сформулируем и докажем лемму, на которую мы опирались при получении структурных формул (6) для произвольного канонического преобразования. Лемма. Если даны Доказательство. Допустим противное, т. е. допустим, что любые Поскольку, не изменяя ни условия, ни утверждения леммы, можно поменять ролями две сопряженные величины
Ряд величин (7) назовем максимальным базисом. Очевидно, что
где Не нарушая общности, можно считать, что из величин
не входящих в формулы (8), величины
являются функциями от базисных величин (7), а каждая из величин
независима по отношению к базису. Таким образом,
Покажем теперь, что величины в правые части формул (8). Действительно, пусть, например,
Тогда система величин
т. e. каждая из величин, входящих в одну из двух систем, выражается через величины другой и наоборот
независимы, что противоречит «максимальности» базиса (7). Таким образом, формулы (8) могут быть записаны так:
Обозначим через
Покажем теперь, что величины
Но величина
Тогда
и, следовательно, величин
независимы, что противоречит «максимальности» базиса (7). Таким образом,
Обозначим через
Теперь покажем, что величины
Но величина
В этом случае имеет место эквивалентность между системой величин
и базисом (7). Поэтому величина независима от величин (18). Прибавляя Таким образом,
Обозначим через Равенства (19) запишем так:
Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока одновременно не будут достигнуты равенства
Вместо формул (14), (17), (20), ... , (21) можно написать
Пусть теперь Если Таким образом, допущение о существовании максимального базиса (7), в котором
|
1 |
Оглавление
|