§ 34. Признаки неустойчивости положения равновесия. Теоремы Ляпунова и Четаева

Еще в 1892 г. А. М. Ляпунов в своей знаменитой диссертации «Общая задача об устойчивости движения» поставил вопрос об обращении теоремы Лагранжа. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное решение этого вопроса дают две теоремы Ляпунова и теорема Четаева, в которых устанавливаются некоторые достаточные условия для неустойчивости положения равновесия.

Пусть по-прежнему в положении равновесия Напишем разложение потенциальной энергии в ряд по степеням координат («отклонений»):

где — однородная функция степени а наинизшая из степеней членов, фактически входящих в разложение, так как в положении равновесия все

Теорема Ляпунова I. Если потенциальная энергия консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума и это обстоятельство можно усмотреть из членов второй степени в разложении то данное положение равновесия неустойчиво.

Доказательство. В выражении для кинетической энергии разложим коэффициенты в ряд о степеням координат и обозначим через свободные члены

(т. е. значения функций при ). Тогда, полагая будем иметь

здесь и далее через обозначаем сумму членов, имеющих более высокий порядок малости относительно координат и скоростей, чем выписанные ранее члены. Так как — положительно определенная квадратичная форма с постоянными коэффициентами, то при помощи неособенного линейного преобразования переменных можно одновременно привести две квадратичные формы к сумме квадратов, после чего разложение для Т и П в новых переменных примет вид

Поскольку квадратичная форма принимает некоторые отрицательные значения, то, крайней мере, одно

В координатах 6 уравнения Лаграйжа запишутся так:

Рассмотрим вспомогательную квадратичную форму

где при при а число

Непосредственно проверяется, что в силу уравнений (3) и равенства (4) при движении системы

Не нарушая общности, будем считать, что и что — наибольшее число из отрицательных Положительное число выберем так, чтобы одновременно выполнялись неравенства

Из первого неравенства следует, что сумма в правой части равенства (5) представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Но тогда при достаточно малых (по абсолютной величине)

правая часть равенства (5) будет всегда положительна, т. е.

откуда

или

Положим все начальные значения 6 в равными нулю, за исключением которое возьмем по модулю меньшим Тогда, используя выражение (4) и второе неравенство (6), находим Но при этом движение обязательно выйдет за пределы окрестности (7), как бы мал ни был так как в противном случае из неравенства (8) следовало бы, что а квадратичная форма V в окрестности (7) ограничена.

Теорема доказана.

В случае, когда в разяожении можно применять следующие две теоремы, которые приведем без доказательства

Теорема Ляпунова II. Если потенциальная энергия П консервативной системы при имеет строгий максимум и это обстоятельство может быть определено, исходя из членов наинизшей степени в разложении то положение является неустойчивым положением равновесия системы.

Теорема Четаева. Если потенциальная энергия консервативной системы является однородной функцией отклонений и в положении равновесия имеет минимума, то это положение равновесия неустойчиво. Примеры. 1. Пусть Функция П в точках имеет строгие минимумы, а в точках строгие максимумы При этом

последнее обстоятельство следует из вида члена наинизшего порядка в разложении по степеням отклонений

Тогда, согласно теоремам Лагранжа и Ляпунова, точкам q соответствуют устойчивые, а точкам — неустойчивые положения равновесия.

2. . Из теоремы Четаева следует, что положение является неустойчивым положением равновесия.