Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 34. Признаки неустойчивости положения равновесия. Теоремы Ляпунова и ЧетаеваЕще в 1892 г. А. М. Ляпунов в своей знаменитой диссертации «Общая задача об устойчивости движения» поставил вопрос об обращении теоремы Лагранжа. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное решение этого вопроса дают две теоремы Ляпунова и теорема Четаева, в которых устанавливаются некоторые достаточные условия для неустойчивости положения равновесия. Пусть по-прежнему в положении равновесия
где Теорема Ляпунова I. Если потенциальная энергия Доказательство. В выражении для кинетической энергии (т. е. значения функций
здесь и далее через
Поскольку квадратичная форма В координатах 6 уравнения Лаграйжа запишутся так:
Рассмотрим вспомогательную квадратичную форму
где Непосредственно проверяется, что в силу уравнений (3) и равенства (4) при движении системы
Не нарушая общности, будем считать, что
Из первого неравенства следует, что сумма в правой части равенства (5) представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Но тогда при достаточно малых (по абсолютной величине)
правая часть равенства (5) будет всегда положительна, т. е.
откуда
или
Положим все начальные значения 6 в Теорема доказана. В случае, когда в разяожении Теорема Ляпунова II. Если потенциальная энергия П консервативной системы при Теорема Четаева. Если потенциальная энергия последнее обстоятельство следует из вида члена наинизшего порядка в разложении по степеням отклонений
Тогда, согласно теоремам Лагранжа и Ляпунова, точкам q соответствуют устойчивые, а точкам 2.
|
1 |
Оглавление
|