§ 41. Нормальные координаты

Две квадратичные формы

из которых хотя бы одна, например , является положительно определенной, всегда можно одним и тем же (неособенным) преобразованием переменных

привести к «сумме квадратов»

При этом все так как (см. § 40) форма также является положительно определенной.

Поскольку обобщенные скорости и связаны между собой такими же соотношениями, какими связаны

то в первом из равенств (3) можно заменить на после чего для кинетической и потенциальной энергий получаем следующие выражения:

Переменные называются нормальными или главными координатами. Формулы перехода (2) от произвольных координат к нормальным в «векторной» записи могут быть представлены так:

где

Так как преобразование координат (2) является неособенным, то соответствующий определитель отличен от нуля:

т. е. векторы линейно независимы.

Используя простые выражения (4) для Т и П в нормальных координатах, составим уравнения Лагранжа в этих координатах:

Каждое из этих уравнений содержит только одну неизвестную функцию. Общие решения уравнений (6), как известно, определяют гармонические колебания

где — произвольные постоянные . Подставляя эти выражения в формулу (5), получаем общую формулу для колебаний

Таким образом, строго установлено, что эта формула в самом общем случае охватывает все малые колебания консервативной системы.

Полагая в формуле (8) все произвольные постоянные, кроме и а, равными нулю, получим «главное» гармоническое колебание

(В нормальных координатах это колебание осуществляется, когда все при и изменяется только координата ) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты удовлетворяет уравнению частот. Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для не существует, то — все корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется здесь раз, то ему соответствуют линейно независимых амплитудных векторов определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа.

Таким образом, мы снова доказали, что все корни векового уравнения вещественны и положительны и установили, что частотам соответствуют линейно независимых амплитудных векторов

Подставив в формулу вместо его выражение (5), получим:

С другой стороны,

Сопоставляя равенства (10) и (11), получаем для амплитудных векторов с помощью которых по формуле (5) осуществляется переход к нормальным координатам, соотношения: