Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 35. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные системыВведем теперь понятие об асимптотически устойчивом положении равновесия. Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, при достаточно малых по абсолютной величине начальных отклонениях и начальных скоростях все отклонения и скорости при неограниченном возрастании времени
всякий раз, когда удовлетворяются неравенства
При геометрической интерпретации (рис. 44) это означает, что в пространстве состояний
Рис. 44. В рассмотренных на стр. 190—192 примерах 1, 2 и 3 только в примере 3 устойчивое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Мы будем рассматривать склерономные системы, находящиеся под воздействием потенциальных сил — и непотенциальных сил потенциальная энергия П и непотенциальные силы
В этом случае время
В рассматриваемом случае полная энергия Е склерономной системы не содержит явно времени:
Вычисляя ее полную производную по времени при движении системы, находим:
Таким образом, в каждой точке пространства состояний Если силы В случае определенно-диссипативной системы (см. § 8) Теорема об асимптотической устойчивости. Если потенциальная энергия П склерономной определеннодиссипативной системы в некотором положении равновесия имеет строгий минимум и это положение равновесия является изолированным, то положение равновесия асимптотически устойчиво. Доказательство. Пусть снова в положении равновесия
Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, выберем в пространстве состояний
во всех точках, отличных от О, и в которой нет состояний равновесия, отличных от О.
Рис. 45. Так как согласно теореме Лагранжа положение равновесия
причем
Так как вся траектория лежит в
В силу леммы Больцано — Вейерштрасса из бесконечных ограниченных последовательностей
при этом
Но тогда, в силу непрерывности
По предположению точка Примем точку Рассмотрим, далее, движение системы, начинающееся при начальной точки
а это невозможно, так как Итак, мы пришли к противоречию, допустив, что
Так как в силу неравенства (6) равенство В примере 3 на стр. 191
поскольку Исследование движения склерономной определенно-диссипативной системы в окрестности ее асимптотически устойчивого положения равновесия будет дано в § 46. Ляпунов доказал теорему, которая обобщает теорему Лагранжа. Он обратил внимание на то, что при доказательстве теоремы Лагранжа можно вместо энергии Е взять любую непрерывную (с непрерывными частными производными первого порядка) функцию в состоянии равновесия строгий минимум и не возрастающую при любом движении системы. Вычислим производную по времени от функции V, использовав при этом уравнения движения (3):
В частности, из этой формулы следует, что в начале координат О пространства состояний функция В этом случае функция V в состоянии равновесия О имеет максимум. Если же этот максимум строгий, то в окрестности точки О (за исключением самой точки О) и при движении системы в пределах этой окрестности функция V строго убывает. Теперь можно почти дословно повторить доказательство теоремы Лагранжа, используя вместо Е функцию V. В случае асимптотической устойчивости (например, для диссипативной системы) доказательство будет даже более простым, если потребовать, чтобы производная имела в положении равновесия строгий экстремум противоположного типа по отношению к экстремуму функции V. Заметим еще, что при формулировке критерия устойчивости можно поменять местами слова «минимум» и «максимум», так как замена функции V на функцию —V возвращает нас к прежней формулировке. Таким образом, можно считать доказанной следующую теорему: Теорема. Если дано положение равновесия склерономной системы, находящейся под действием сил, не зависящих явно от времени, и существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка функция Функцию
|
1 |
Оглавление
|