§ 35. Асимптотическая устойчивость положения равновесия. Диссипативные системы

Введем теперь понятие об асимптотически устойчивом положении равновесия. Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, при достаточно малых по абсолютной величине начальных отклонениях и начальных скоростях все отклонения и скорости при неограниченном возрастании времени стремятся к нулю, т. е. если существует такое число что

всякий раз, когда удовлетворяются неравенства

При геометрической интерпретации (рис. 44) это означает, что в пространстве состояний все траектории, начинающиеся в -окрестности начала координат О, асимптотически приближаются (при ) к точке О.

Рис. 44.

В рассмотренных на стр. 190—192 примерах 1, 2 и 3 только в примере 3 устойчивое положение равновесия является асимптотически устойчивым.

Мы будем рассматривать склерономные системы, находящиеся под воздействием потенциальных сил — и непотенциальных сил и будем предполагать, что

потенциальная энергия П и непотенциальные силы не зависят явно от времени:

В этом случае время не входит явно в уравнения Лагранжа, которые могут быть записаны в следующем виде (разрешенном относительно обобщенных ускорений) (см. § 7, стр. 56):

В рассматриваемом случае полная энергия Е склерономной системы не содержит явно времени:

Вычисляя ее полную производную по времени при движении системы, находим:

Таким образом, в каждой точке пространства состояний не только полная энергия, но и ее полная производная по времени имеют определенные значения.

Если силы являются диссипативными (см. § 8), то при движении системы т. е. функция в рассматриваемой области пространства состояний принимает лишь неположительные значения.

В случае определенно-диссипативной системы (см. § 8) обращается в нуль только в тех точках пространства состояний где все Будем предполагать, что положение равновесия системы является изолированным, т. е. в его окрестности нет других положений равновесия. Тогда имеет место

Теорема об асимптотической устойчивости. Если потенциальная энергия П склерономной определеннодиссипативной системы в некотором положении равновесия имеет строгий минимум и это положение равновесия является изолированным, то положение равновесия асимптотически устойчиво.

Доказательство. Пусть снова в положении равновесия

Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, выберем в пространстве состояний -окрестность начала координат О, в которой энергия Е положительна,

во всех точках, отличных от О, и в которой нет состояний равновесия, отличных от О.

Рис. 45.

Так как согласно теореме Лагранжа положение равновесия устойчиво, для любого можно указать такое, что все движения протекают внутри -окрестности точки О, если начальная точка выбрана в -окрестности (рис. 45). В качестве -окрестно-сти возьмем окрестность, в которой выполняется условие (8) § Рассмотрим какое-либо из движений, начинающихся в -окрестности. Поскольку при движении энергия Е убывает, то

причем Допустим сначала, что и рассмотрим последовательность значений времени и последовательности значений фазовых координат

Так как вся траектория лежит в -окрестности, то при всех и выполняются неравенства

В силу леммы Больцано — Вейерштрасса из бесконечных ограниченных последовательностей и можно выбрать сходящиеся подпоследовательности Пусть

при этом

Но тогда, в силу непрерывности

По предположению точка не совпадает с началом координат, где

Примем точку за начальную точку движения при Так как эта точка не совпадает с точкой О, т. е. не является положением равновесия, то при движении системы хотя бы одна из обобщенных скоростей будет отлична от нуля и потому 0. Но тогда при некотором будет выполняться неравенство .

Рассмотрим, далее, движение системы, начинающееся при из точки . В силу (7) значения и при достаточно больших будут сколь угодно близки к значениям соответственно. Следовательно, при достаточно больших будут сколь угодно близки и значения фазовых координат при движений, начинающихся при из начальных точек (решения систем дифференциальных уравнений являются непрерывными функциями начальных данных). Поэтому для движения, начавшегося при из точки при будет выполняться неравенство , так как полная энергия Е представляет собой непрерывную функцию фазовых координат. Но в силу единственности решений уравнений Лагранжа, состояние в момент системы, вышедшей при из

начальной точки совпадает с состоянием в момент системы, вышедшей при из начальной точки поэтому интересующее нас значение энергии должно удовлетворять неравенству

а это невозможно, так как при любом

Итак, мы пришли к противоречию, допустив, что , следовательно,

Так как в силу неравенства (6) равенство имеет место только в точке О, то из равенства (8) вытекает, что при точка, изображающая систему в пространстве состояний, стремится к началу координат, т. е. имеют место соотношения (1). Теорема доказана.

В примере 3 на стр. 191

поскольку Система определенно-диссипативная, и положение равновесия является изолированным, что следует из уравнения движения при подстановке решения В силу теоремы положение равновесия асимптотически устойчиво.

Исследование движения склерономной определенно-диссипативной системы в окрестности ее асимптотически устойчивого положения равновесия будет дано в § 46.

Ляпунов доказал теорему, которая обобщает теорему Лагранжа. Он обратил внимание на то, что при доказательстве теоремы Лагранжа можно вместо энергии Е взять любую непрерывную (с непрерывными частными производными первого порядка) функцию имеющую

в состоянии равновесия строгий минимум и не возрастающую при любом движении системы.

Вычислим производную по времени от функции V, использовав при этом уравнения движения (3):

В частности, из этой формулы следует, что в начале координат О пространства состояний функция обращается в нуль, так как точка О соответствует состоянию равновесия, в котором все и все Если функция V не возрастает при любом движении, то

В этом случае функция V в состоянии равновесия О имеет максимум. Если же этот максимум строгий, то в окрестности точки О (за исключением самой точки О) и при движении системы в пределах этой окрестности функция V строго убывает.

Теперь можно почти дословно повторить доказательство теоремы Лагранжа, используя вместо Е функцию V. В случае асимптотической устойчивости (например, для диссипативной системы) доказательство будет даже более простым, если потребовать, чтобы производная имела в положении равновесия строгий экстремум противоположного типа по отношению к экстремуму функции V.

Заметим еще, что при формулировке критерия устойчивости можно поменять местами слова «минимум» и «максимум», так как замена функции V на функцию —V возвращает нас к прежней формулировке.

Таким образом, можно считать доказанной следующую теорему:

Теорема. Если дано положение равновесия склерономной системы, находящейся под действием сил, не зависящих явно от времени, и существует непрерывная

вместе с частными производными первого порядка функция имеющая в данном состоянии равновесия строгий экстремум, в то время как производная V от V по времени (вычисленная в силу уравнений, движения) имеет в этом же состоянии экстремум противоположного типа, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво. Если при этом экстремум производной также является строгим, то положение равновесия асимптотически устойчиво.

Функцию , о которой идет речь в теореме, принято называть функцией Ляпунова.