§ 47. Влияние внешней силы, зависящей от времени, на малые колебания склерономной системы. Амплитудно-фазовая характеристика

Пусть дополнительно к тем силам, о которых шла речь в § 45, на склерономную систему действуют еще силы . Тогда уравнения Лагранжа для малых колебаний системы будут отличаться от уравнений (7) на стр. 260 только наличием ненулевых правых частей

Общее решение этой неоднородной системы дифференциальных уравнений представляется в виде

где первое слагаемое представляет собой общее решение соответствующей однородной системы, некоторое частное решение системы (1).

Мы предполагаем, что положение системы является асимптотически устойчивым положением равновесия, т. е. что Тогда первое слагаемое стремится к нулю при и при достаточно больших общее решение неоднородной системы практически совпадает с Поэтому мы в дальнейшем будем интересоваться только «вынужденными колебаниями» которые будем обозначать просто через

Поскольку система дифференциальных уравнений (1) линейна, то общий случай отыскания вынужденных колебаний сводится (за счет линейной суперпозиции частных решений) к тому случаю, когда только одна из обобщенных сил отлична от нуля.

Пусть, например, . Кроме того, допустим сначала, что — гармоническая сила, т. е.

Тогда дифференциальные уравнения (1) запишутся так:

Будем искать вынужденные колебания в виде

Подставляя эти выражения для в дифференциальные уравнения (4) и сокращая на получаем для определения величин систему алгебраических уравнений:

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим для

где

— правильная дробно-рациональная функция от с вещественными коэффициентами; годограф этой функции в комплексной плоскости, а иногда и сама функция, носит название частотной или амплитудно-фазовой характеристики.

Тогда «отклик» координаты на внешнее воздействие получается умножением этого воздействия на частотную характеристику

Полагая

— амплитудная, (2) — фазовая характеристика, перепишем формулу (9) следующим образом:

Пусть теперь

т. е.

Соответствующий отклик будет

т. е.

Другими словами, при переходе от синусоидальной силы (12) к соответствующему отклику, т. е. синусоидальному вынужденному колебанию (13), амплитуда силы умножается на амплитудную характеристику а смещение фазы определяется фазовой характеристикой взятой для того же значения .

Рис. 53.

На рис. 53 изображена амплитудно-фазовая характеристика

Если для данного соответствующее очень мало, то амплитуда отклика весьма мала по сравнению с амплитудой «возбуждения»

данной частоты 2. Наоборот, если при данном соответствующее очень велико, то амплитуда отклика велика по сравнению с амплитудой обобщенной силы Таким образом, подбирая систему с надлежащими амплитудными характеристиками, мы можем гасить колебания на одних диапазонах частот и увеличивать амплитуды этих колебаний на других частотах. Это и есть принцип устройства фильтров.

Так как — правильная дробно-рациональная функция и потому при , то любая система практически пропускает только конечный диапазон частот.

Пусть теперь — произвольная периодическая функция, задаваемая рядом Фурье

Складывая отклики на отдельные гармоники этого ряда, получаем

Пусть теперь — произвольная непериодическая функция от которую можно представить в виде интеграла Фурье

Полагая

будем иметь

Функция называется комплексным спектром функции

Воздействие

вызовет отклик

Поэтому, основываясь на принципе линейной суперпозиции откликов, найдем:

т. e. комплексный спектр для координаты получается умножением комплексного спектра воздействия на соответствующую частотную характеристику системы

Пусть при система находится в покое и движение системы при нулевых начальных условиях вызвано только внешним воздействием при 0. Представляя комплексный спектр отклика в виде

согласно формуле (19) будем иметь

Так как вещественная функция, то второе слагаемое в правой части равно нулю и поэтому

Предположим теперь, что

тогда

Заменим здесь на

Складывая почленно равенства (21) и (23), находим

Можно показать, что выражение (24) определяет общее решение устойчивой системы для координаты при условиях (22) и при нулевых начальных данных. Функция строится непосредственно по коэффициентам содержащимся в уравнениях (1), а функция определяется выражением (17). После этого задача об определении движения, описываемого уравнениями (1), сводится с помощью выражения (24) к одной квадратуре.

Для приближенного определения движения пригоден поэтому любой метод приближенного интегрирования. Можно,

например, построить график функции заменить его ломаной линией и через точки излома провести горизонтальные линии до оси ординат.

Рис. 54.

Тогда функция приближенно заменяется суммой функций график каждой из которых представляет собой трапецию (в частном случае треугольник), как показано на рис. 54.

Рис. 55.

Для одной такой функции интеграл (24) может быть вычислен:

где и показаны на рис. 55, a A — площадь трапеции. Поэтому

где суммирование ведется по всем трапециям, полученным при аппроксимации ломаной линией.

При использовании такой аппроксимации для построения движения могут быть использованы таблицы функции