§ 20. Обобщенно-консервативные системы. Уравнения Уиттекера. Уравнения Якоби. Принцип наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа

Рассмотрим обобщенно-консервативную систему, т. е. произвольную (быть может, и ненатуральную) систему, для которой функция Н не зависит явно от времени. Для нее имеет место обобщенный интеграл энергии

Этот интеграл аналогичен интегралу сохранения импульса который имеет место в случае, когда является циклической координатой, т. е. когда

Исходя из аналогии между переменной времени и циклической координатой, следует ожидать, что с помощью интеграла энергии (1) удастся понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения на две единицы.

С этой целью рассмотрим обычное (т. е. нерасширенное) -мерное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины Ограничимся рассмотрением только тех точек фазового пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1) с фиксированным значением постоянной Другими словами, мы ограничиваемся рассмотрением лишь тех состояний системы, которым соответствует заданная величина полной энергии

Тогда основной интегральный инвариант I представится в виде

поскольку, в силу равенства (1),

Теперь разрешим уравнение (1) относительно одного из импульсов, например

и полученное выражение подставим вместо в интеграл (2); тогда

Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, если считать, что основными координатами и импульсами являются величины и , а переменная играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К). Поэтому (см. § 18) движение обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравнений порядка

Эти уравнения были получены Уиттекером и носят название уравнений Уиттекера.

Проинтегрировав систему уравнений Уиттекера, мы найдем величины как функции от переменной произвольных постоянных кроме того, интегралы уравнений Уиттекера будут содержать произвольную постоянную т. е. будут иметь вид

После этого, подставив выражение (6) в формулу (3), найдем аналогичное выражение для

Таким образом определяются все траектории в фазовом пространстве т. е. геометрическая картина движения.

Зависимост координат от времени мы получим из уравнения — при помощи квадратуры

при этом в частной производной все переменные выражены через с помощью равенств (6) и (6).

Гамильтонова система уравнений Уиттекера (5) может быть заменена эквивалентной системой уравнений типа Лагранжа:

где а функция Р (аналог функции Лагранжа) связана с функцией К (аналогом функции Гамильтона) равенством

Обратим внимание на то, что система -содержит не уравнений второго порядка. В последней части этого соотношения импульсы должны быть заменены их выражениями через

которые могут быть получены из первых уравнений (5).

Преобразуем выражение для функции Р, исходя из равенств (3) и (9):

В случае натуральной, т. е. обычной, консервативной системы следовательно

причем кинетическая энергия Т может быть записана в виде

здесь

Из равенств (1) и (12) находим

и получаем для функции Р следующее выражение:

Дифференциальные уравнения (8), в которых функция Р имеет вид (15) и которые, таким образом, относятся к натуральным, т. е. обычным, консервативным системам, носят название уравнений Якоби.

Интегрируя уравнения Якоби, мы определяем все траектории в координатном пространстве

Связь координат с переменной времени устанавливается из соотношения (14) с помощью квадратуры

Переходим теперь к установлению принципа наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа. Поскольку уравнения (8)

являются уравнениями типа Лагранжа, то из вытекает вариационный принцип, согласно которому для прямого пути

где

— действие по Лагранжу. Здесь «допускаются к соревнованию» все движения обобщенно-консервативной системы, которые переводят систему из заданного начального положения в заданное конечное положение (рис. 35). При этом моменты времени не фиксируются и при переходе от прямого пути к окольным могут варьироваться.

Рис. 35.

Выражая в интеграле (19) функцию Р с помощью равенства (10), находим связь между действием по Лагранжу и действием по Гамильтону

В случае обычной (натуральной) консервативной системы можно воспользоваться выражением (11) и представить действие

по Лагранжу в виде

Но при этом уже имеется в виду, что «к соревнованию» допускаются только те движения системы, при которых полная энергия системы имеет одно и то же значение (изоэнергетичностъ!).

Полученное выражение для показывает, что действие по Лагранжу равно работе векторов количеств движения точек системы на соответствующем перемещении системы.

Вариационный принцип (18) носит название принципа наименьшего действия Мопертюи — Лагранжа.

В качестве примера рассмотрим сравнение оптического принципа Ферма с принципом наименьшего действия Мопертюи—Лагранжа.

Согласно принципу Ферма свет в неоднородной среде распространяется так, чтобы время пробега

было минимальным.

Введя в каждой точке среды коэффициент преломления отношение скорости света с в пустоте к скорости о в данной среде, — мы преобразуем эту формулу к виду

где — функция точки среды. Поэтому принцип Ферма запишется так;

С другой стороны, для одной материальной точки с массой принцип Мопертюи — Лагранжа дает (поскольку )

Траектория светового луча совпадает с траекторией материальной точки, если [см. формулы (23) и (24)]

Если принять, что вблизи поверхности Земли показатель преломления убывает как линейная функция высоты

где Н — высота атмосферы, то, пренебрегая малыми членами порядка можно написать

где

Формула (27) определяет потенциал силы тяжести вблизи поверхности Земли с видоизмененным значением

Поэтому если показатель преломления указанным образом изменяется с высотой, то свет распространяется по параболе с вертикальной осью.