§ 12. Канонические уравнения Гамильтона

Лагранж показал, как выписываются дифференциальные уравнения движения системы, если известен кинетический потенциал (функция Лагранжа)

Будем называть переменные , через которые выражается функция Лагранжа, переменными Лагранжа. Система значений этих переменных характеризует момент времени и соответствующее состояние системы, т. е. положение системы и скорости ее точек. Как уже было отмечено в конце предыдущего параграфа, задание функции Лагранжа и начального состояния однозначно определяет движение системы.

Гамильтон предложил в качестве основных переменных, характеризующих состояние системы, взять величины , где — обобщенные импульсы, определяемые равенствами

Переменные будем называть переменными Гамильтона.

Поскольку якобиан правых частей равенств (1) по переменным является отличным от нуля гессианом функции [см. условие (19) на стр. 82], то уравнения (1) могут быть разрешены относительно

Таким образом, переменные Гамильтона могут быть выражены через переменные Лагранжа и наоборот и состояние системы можно характеризовать как системой значений переменных Лагранжа, так и системой значений переменных Гамильтона.

В случае натуральной системы — квадратичная функция (см. стр. 77—79) относительно обобщенных скоростей и, согласно равенствам (1), обобщенные импульсы линейно выражаются через обобщенные скорости:

Решая эту систему линейных уравнений относительно получаем для снова линейные выражения

где функции от

Если в натуральной системе силы имеют обычный потенциал то из равенства следует:

Заметим, что любая функция от переменных Лагранжа

после подстановки в нее вместо обобщенных скоростей выражений (2) или (4) превращается в некоторую функцию от переменных Гамильтона. Функцию будем называть союзным выражением для функции

Пример. Для свободной материальной точки декартовы координаты являются независимыми и в потенциальном поле функция Лагранжа имеет вид

Декартовым координатам соответстэуют импульсы

Если мы отсюда определим и полученные выражения подставим в то получим союзное выражение для

Если вместо имеем обобщенный потенциал

где — функции от то из равенства

находим

и союзное выражение имеет вид

Гамильтон ввел в рассмотрение функцию определяемую равенством

и показал, что с помощью этой функции уравнения движения могут быть записаны в виде следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

Эти уравнения называются каноническими уравнениями или уравнениями Гамильтона. Функция определяемая равенством (8), называется функцией Гамильтона.

Вывод канонических уравнений Гамильтона будет опираться на следующую математическую теорему.

Теорема Донкина. Пусть дана некоторая функция гессиан которой отличен от нуля:

и пусть имеется преобразование переменных, «порождаемое» функцией

Тогда существует преобразование, обратное преобразованию (11), которое также порождается некоторой функцией

при этом порождающая функция У обратного преобразования связана с порождающей функцией X прямого преобразования формулой

Если функция X содержит параметры то также содержит эти параметры, т. е.

Доказательство. Гессиан функции X совпадает с якобианом правых частей в уравнениях (11). Поэтому условие (10) показывает, что из уравнений (11) можно выразить

переменные через

Пусть функция определяется формулой (13), в которой переменные х, заменены выражениями (15). Тогда

Но, согласно равенствам две суммы, стоящие в правой части этого равенства, взаимно уничтожаются и, следовательно, имеют место формулы (12).

Пусть теперь X содержит помимо переменных еще параметры . Тогда эти параметры фигурируют в прямом преобразовании (11), а следовательно, и в обратном:

Функция определяется равенством (13), в котором х, заменены на поэтому

Теорема Донкина доказана полностью.

Используем теорему Донкина для перехода от переменных Лагранжа к переменным Гамильтона, заменяя в теореме функцию X на переменные — на параметры — на переменные на , наконец (с учетом примечания 3 на стр. 86), функцию на Тогда

по теореме Донкина (гессиан функции относительно не равен нулю!) из формул (1) следует:

Равенства (16) и (17) представляют собой тождества, являющиеся следствием связи (1) между обобщенными скоростями и обобщенными импульсами. Но уравнения Лагранжа могут быть, в силу (1), записаны так:

Эти уравнения совместно с равенствами (16) и приводят нас к каноническим уравнениям Гамильтона

Помимо уравнений Гамильтона мы получили тождество (17), которое будет использовано в дальнейшем.

Из уравнений (19) следует тождество

Назовем систему обобщенно-консервативной, если функция Гамильтона Н не зависит явно от т. е. если

В этом случае , следовательно, в силу тождества (20), т. е. при движении системы

где — произвольная постоянная. Функцию Н будем называть обобщенной полной энергией, а соотношение (21), не содержащее или и включающее произвольную постоянную — обобщенным интегралом энергии.

Для того чтобы пояснить эту терминологию, рассмотрим натуральную систему. Тогда является квадратичной функцией [см. равенство (4), § 11]

и

Но по теореме Эйлера об однородных функциях

Поэтому окончательно для произвольной натуральной системы

Пусть Если силы имеют обычный потенциал или обобщенный потенциал и поэтому

Если система склерономна, то , и потому

Таким образом, для склерономной натуральной системы функция Гамильтона И представляет собой полную энергию, выраженную через переменные Гамильтона.

Рассмотрим теперь консервативную систему, т. е. натуральную склерономную голономную систему с не зависящим явно от времени обычным потенциалом сил.

В этом случае время не входит явно в выражение (25) для полной энергии Н и потому, согласно равенству (21), имеет место закон сохранения энергии

Консервативная система является частным случаем обобщенно-консервативной, и в этом частном случае обобщенный интеграл энергии переходит в обычный.

Если система склерономна и силы имеют обобщенный потенциал , в котором П не зависит явно от времени то снова функция Н определяется формулой (25) и не зависит явно от Поэтому и в этом случае система является обобщенно-консервативной и имеет место интеграл энергии (26).

Пример. Горизонтальная рейка вращается около вертикальной оси, а вдоль рейки движется груз массы от. Сила, действующая на груз, имеет потенциал где — расстояние груза до оси вращения.

Обозначим через угол поворота рейки, а через — ее момент инерции относительно вертикальной оси вращения. Тогда — независимые координаты системы и

Отсюда

Поскольку система консервативна, то

Канонические уравнения в данном случае имеют вид

а интеграл энергии записывается так: