§ 7. Исследование уравнений Лагранжа

Для того чтобы составить уравнения Лагранжа, нужно предварительно найти выражение для кинетической энергии в виде функции от времени обобщенных координат и обобщенных скоростей . Сделаем это в общем виде:

Здесь коэффициенты функции от определяемые равенствами

Формула (1) показывает, что кинетическая энергия голономной системы представляет собой функцию (многочлен) второй степени относительно обобщенных скоростей:

где

В случае склерономной системы, как было выяснено в § 1, время явно не входит в зависимость между , и потому

Но тогда, согласно равенствам (3) и (4),

и

Таким образом, кинетическая энергия склерономной системы представляется в виде однородной функции второй степени (квадратичной формы) от обобщенных скоростей.

Заметим, что у произвольной (склерономной или реономной) голономной системы форма является всегда невырожденной, т. е. определитель, составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля:

Действительно, пусть

Тогда система однородных линейных уравнений

имеет вещественное ненулевое решение.

Умножая систему (8) почленно на суммируя по I от 1 до и используя формулы (2), получаем:

Отсюда

Эти векторных равенств можно заменить 3N скалярными:

Равенства (9) показывают, что в якобиевой функциональной матрице

столбцы линейно зависимы, т. е. ранг этой функциональной матрицы меньше Тогда среди функций от аргументов рассматривается как параметр) ймеется независимых, через которые могут быть выражены все остальные декартовы координаты точек системы. Мы пришли к противоречию, так как минимальное число независимых координат системы равно числу степеней свободы Неравенство (7) установлено.

Свойство коэффициентов квадратичной формы выражаемое неравенством (7), очень существенно и будет нами неоднократно использоваться в дальнейшем. Заметим, что поскольку всегда кинетическая энергия при «замороженных» связях!), то из неравенства (7) следует, что квадратичная форма является положительно определенной, т. е. причем только тогда, когда все равны нулю. Поэтому

для коэффициентов имеют место детерминантные неравенства Сильвестра:

Подставив выражение (1) для кинетической энергии в уравнения Лагранжа

получим

Здесь через обозначена сумма членов, не содержащих вторых производных от координат по времени. Правые части также не содержат вторых производных, так как представляют собой в общем случае функции от величин .

Поскольку то уравнения (13) можно разрешить относительно вторых производных и представить в виде

Но тогда, как известно из теории дифференциальных уравнений, при некоторых предположениях относительно правых частей которые в механике всегда предполагаются выполненными, существует одно и только одно решение уравнений Лагранжа при произвольных наперед заданных начальных данных для . Таким образом, движение голономной системы однозначно определяется заданием начального положения и начальных скоростей