§ 30. Критерий каноничности преобразования. Скобки Лагранжа

Установим некоторые критерии каноничности, т. е. необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять независимых функций [относительно

для того, чтобы определяемое этими функциями преобразование было каноническим.

Пусть преобразование (1) является каноническим. Выпишем для него определяющее тождество

Возьмем произвольное фиксированное значение Тогда из тождества (2) находим:

Но равенство (3) есть определяющее тождество для преобразования, не содержащего явно времени,

Следовательно, формулы (4) определяют каноническое преобразование с валентностью с, не зависящей от выбранного значения

Пусть теперь, наоборот, дано, что все преобразования, получающиеся из преобразования (1) после замены переменной различными фиксированными значениями 1, являются каноническими, и притом с одной и той же валентностью с. Тогда, определяя функцию Н равенством

мы из равенств (3) и (5) получаем равенство (2), т. е. приходим к тому, что зависящее от времени преобразование (1) является каноническим.

Таким образом, для того чтобы зависящее от времени преобразование (1) было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы были каноническими, и притом с одной и той же валентностью с, все не зависящие от времени преобразования, получающиеся из преобразования (1) заменой произвольным значением

Поэтому при установлении критериев каноничности можно ограничиться каноническими преобразованиями, не содержащими явно переменной времени

Для канонического преобразования (6) определяющее тождество (2) записывается так:

Выразим здесь через с помощью формул (1). Тогда равенство (7) примет вид

где

Остается записать условия того, что левая часть равенства (8) является полным дифференциалом, и мы получаем критерий каноничности в виде равенств

Подставляя сюда выражения (8), после элементарных преобразований находим

где — символ Кронекера: при при

Условия (10) можно записать в компактной форме, если ввести так называемые скобки Лагранжа, которые определяются для

заданных функций от двух переменных и следующим образом

Использовав эти обозначения и взяв в качестве функции , определяемые формулами (6), мы можем записать условия (10) так:

здесь с — валентность канонического преобразования.

Равенства (12) выражают необходимые и достаточные условия того, чтобы преобразование (6) было каноническим. В случае преобразования, зависящего от времени условия (12) сохраняются, только они должны выполняться при любом значении