ОПЕРАТОРЫ ЛИНЕЙНЫЕ, линейные преобразования

— отображения линейного пространства V в себя, обладающие свойством линейности, т. е. для всех знак отображения А справа: ) Л — образ вектора х при отображении А). В случае конечномерного пространства V размерности и при базисе для V, О. л. однозначно описываются квадратными матрицами порядка элементом из поля скаляров. А именно, О. сопоставляется матрица строка которой состоит из координат в базисе образа базисного вектора Матрица А наз. матрицей О. л. Л в базисе . В случае бесконечномерных, топологических и функциональных пространств представление О. л. матрицами обобщается введением «бесконечных» матриц различного типа. Примеры О. тождественный оператор S, переводящий всякий вектор х из V в себя: нулевой оператор 0, переводящий все векторы х в нулевой вектор: Обобщением этих примеров является понятие скалярного О. л., умножающего все векторы на один и тот же скаляр . Такой скалярный О. л. обозначается . В произвольном базисе ему соответствует диагональная матрица ХЕ, все диагональные элементы которой равны к. Другим примером О. л. являются проекции (или проекторы). Под этим понимаются О. л., которые в некотором базисе переводят некоторые базисные векторы в самих себя, а остальные — в нуль-вектор. Широким и важным классом являются О. л. скалярного типа. Так наз. те-операторы, которые в подходящем базисе представляются диагональными матрицами: соответствующие базисы состоят из собственных векторов.

В совокупности всех О. л. рассматриваются и изучаются операции: умножение, сложение и умножение на скаляр. 1) Умножение. Под произведением операторов и понимается оператор, получающийся последовательным применением сперва оператора, затем оператора Умножение ассоциативно, вообще говоря, некоммутативно. Произведению О. л. соответствует произведение их матриц. 2) Сложение. определяется тождеством Умножение на скаляр. Если , то оператор а А определяется тождеством для всех х. Для операции сложения и умножения на скаляр О. л. сами образуют векторное пространство.

Ядром оператора совокупность всех х, для которых Образом совокупность всех представимых в виде Ядро и образ являются подпространствами и обозначаются через соответственно. Оператор А

наз. невырожденным или регулярным, если (в конечномерном случае одно из условий достаточно). Регулярный оператор обладает обратным оператором таким, что и совокупность всех регулярных операторов образует группу для умножения, называемую полной линейной группой пространства. Подгруппы этой группы наз. группами линейных преобразований. В унитарных и эвклидовых векторных пространствах особую роль играют унитарные (соответственно ортогональные) О. л. - это операторы, сохраняющие скалярное произведение. Л. А. Калужнин.