ФИЛЬТРАЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

— одна из задач предсказания случайных процессов теории. Ф. с. п. состоит в следующем: на некотором мн-ве Е наблюдается случайный процесс , где интересующий нас сигнал, а искажающие сигнал помехи (шум); требуется построить в определенном смысле наилучшую оценку значения процесса в некоторый момент времени Иначе говоря, требуется построить такой функционал ) от результатов наблюдения, который можно было бы с наибольшим основанием приравнять . В качестве ошибки, возникающей от замены на обычно рассматривают среднеквадратическую погрешность

Оценка, для которой среднеквадратическая погрешность минимальна, имеет вид

Ф-ла (1) определяет условное математическое ожидание величины при известном Однако получить из соотношения (1) удобные явно выражающие через результаты наблюдений на мн-ве Е, удается только в некоторых спец. случаях при дополнительных предположениях относительно Поэтому часто при минимизации среднеквадратической погрешности ограничиваются рассмотрением функционалов специального вида (напр., линейных или полиномиальных).

Задача линейной Ф. с. п. состоит в отыскании оценки линейно зависящей от результатов наблюдения и имеющей миним. среднеквадратическую погрешность. Ограничение только линейными оценками уменьшает точность Ф. с. п., однако, это компенсируется возможностью получить в большом числе случаев явное решение, удобное для практического использования. Кроме того, в практически важном случае, когда независимые гауссовские случайные процессы, решение задачи линейной фильтрации совпадает с оптим. решением

Пример 1. Пусть независимые стационарные случайные процессы со спектральными плотностями и соответственно, а , т. е. процесс наблюдается во все моменты времени. Тогда среднеквадратическая погрешность

Т. о., полное отделение возможно только тогда, когда спектры сигнала и шума не перекрываются.

Пример 2. Пусть процессы независимы; предположим также, что корреляционные функции процессов известны. Будем искать решение линейной задачи Ф. с. п. в виде , где неизвестная весовая функция. Тогда с удовлетворяет интегр. ур-нию

Явные решения задачи линейной Ф. с. п. получены для стационарных процессов с дробно-рациональными спектральными плотностями в случае, когда Е — конечный отрезок или полубесконечный интервал. К задаче Ф. с. п. сводится решение важных задач радиофизики, радиоэлектроники, автоматического управления теории, распознавания образов.

М. И. Ядренко.