МОНТЕ-КАРЛО МЕТОД

— численный метод, основанный на воспроизведении большого числа реализаций случайного процесса, специально построенного по условиям задачи. Этот случайный процесс формируется т. о., чтобы его вероятностные характеристики (вероятности некоторых событий, математические ожидания случайных величин, вероятности попадания траекторий процесса в заданную область фазового пространства и т. д.) были равны искомым величинам рассматриваемой задачи.

Сущность можно пояснить на следующем примере- Пусть требуется вычислить значение

где — для всех х, удовлетворяющих условию Предположим, что в нашем распоряжении имеется достаточно обширная совокупность независимых случайных чисел получаемых в результате некоторого случайного эксперимента), являющихся возможными значениями случайной величины которая распределена равномерно в интервале (0,1). Очевидно, что пары случайных чисел можно интерпретировать как случайные точки, равномерно распределенные в единичном квадрате. Последнее означает, что вероятность попадания случайной точки в некоторую область Q, принадлежащую единичному квадрату, пропорциональна площади области и не зависит от расположения ее в единичном квадрате. Для любой пары можно проверить справедливость неравенства

Если это неравенство выполнено, точка лежит на кривой или ниже ее (событие А), в противном случае — точка располагается выше кривой (событие А). Проведем N испытаний, состоящих в выборе пар и проверке неравенств вида (2).

Пусть число точек, для которых это неравенство

выполнено, равно . Тогда отношение является частотой наступления события Известно, в силу больших чисел закона, что частота некоторого события при достаточно больших N весьма близка к вероятности этого события. В рассматриваемом случае вероятность Р (А) представляет собой долю площади единичного квадрата, приходящуюся на ту его часть, которая расположена под кривой и поэтому равна искомому значению интеграла (1). Т. о., частоту можно принять в качестве приближенного значения интеграла К рассматриваемой задаче возможен и другой подход. Пусть ф-ция плотности вероятностей некоторой случайной величины в интервале совпадающем с областью интегрирования. Тогда выражение

представляет собой матем. ожидание ф-ции Как известно, в качестве приближенного значения для величины матем. ожидания может быть принято среднее арифметическое

если N достаточно велико. В выражении независимые случайные числа, являющиеся возможными значениями случайной величины с законом распределения

Представление о точности и требуемом числе реализаций N можно получить из следующих рассуждений. Пусть речь идет о вычислении значения h — интеграла h в соответствии с рассматриваемой выше процедурой. Значение имеет точность и достоверность а, если вероятность

В силу теоремы А. Я. Хинчина частота при достаточно больших N имеет распределение, близкое к нормальному, поэтому

где, в нашем случае, и, по таблицам нормального распределения, для для и т. д. Отсюда число реализаций N, необходимое для вычисления с точностью и достоверностью а, равно

Вследствие сравнительно большого числа реализаций, необходимого для вычисления результата с достаточной точностью и достоверностью, широкое практическое применение получил в связи с использованием цифровых вычислительных машин (ЦВМ), где вырабатываются случайные числа, являющиеся исходным материалом для реализации

Общая схема применения состоит в построении и запоминании возможных значений некоторой случайной величины зависящей от траекторий случайного процесса. Среднее значение этой величины, полученное в результате осуществления достаточно большого числа реализаций процесса, и оказывается искомым решением соответствующей задачи.

М.-К. м., несмотря на его универсальность, имеет специфическую область приложения. В первую очередь к ней относятся различные многомерные задачи. Объем вычислений для обычных численных методов возрастает при увеличении размерности задачи приблизительно, как показательная ф-ция размерности, а для лишь как линейная ф-ция размерности. Эту закономерность легко проиллюстрировать на примере вычисления многократных интегралов. Если число операций ЦВМ, необходимое для вычисления -кратного интеграла при к в два раза меньше, чем для кубатурных формул, то при оно уже в двести раз меньше, а при раз. Кроме того, к области приложений относятся также задачи, требующие достаточно полного учета существенно влияющих случайных факторов.

В настоящее время реализуемыми на ЦВМ, решаются многие практические задачи. Помимо вычисления кратных интегралов, необходимо упомянуть решения систем алгебраических ур-ний высокого порядка, обращение матриц, отыскание характеристических чисел и собственных ф-ций интегральных ур-ний, вычисление континуальных интегралов и т. д.

Большое теоретическое и практическое значение получили исследования процессов проникновения частиц через вещество, передачи сообщений, массового обслуживания, кинетики химических реакций, а также процессов функционирования сложных систем, к которым относятся разнообразные производственные и информационные системы, автоматизированные системы управления, некоторые экономические и биологические системы и др.

При решении задач без ЦВМ источниками случайных чисел служили различные эксперименты (бросание монеты, извлечение карт из тщательно перетасованной колоды, верчение рулетки и т. д.). С именем города в княжестве Монако, известного своими игорными домами, и связано происхождение названия

Лит.: Бусленко Н. П., Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний (Мовте-Карло) и его реализация на цифровых вычислительных машинах. М., 1961 [библиогр. с. 224—226]; Бусленко Н. П.

[и др.]. Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло). М., 1962 [библиогр. с. 213—327]; Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. М.. 1968 [библиогр. с. 353—355].

Н. П. Бусленко.