УСТОЙЧИВОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ТЕОРИЯ

— раздел прикладной математики и автоматического управления теории (кибернетики технической), изучающий условия, при которых непрерывная система (НС) обладает устойчивостью. Устойчивость (в широком смысле) — это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим из различных начальных состояний. Достаточно широкий и наиболее изученный класс НС, т. н. системы с сосредоточенными параметрами, можно описать в виде нормальной системы обыкновенных дифф. уравнений

где переменные, описывающие состояние , t — время, или в векторно-матричной форме

где n-мерные векторы-столбцы. Пусть некоторое наперед заданное частное решение ур-ния (2) (невозмущенное движение), устойчивость которого требуется исследовать. Разность есть отклонение решения от Переменные удовлетворяют ураинениям возмущенного движения

где или в векторно-матричной форме

где векторы-столбцы, причем Предположим, что ф-ции удовлетворяют условиям существования и единственности решения системы (3).

Определение 1. Невозмущенное движение системы устойчивым по Ляпунову при короче, устойчивым), если для любых существует такое, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих условию справедливо неравенство при всех . В противном случае оно называется неустойчивым. Под нормой вектора х здесь и далее понимаем евклидову норму

Определение 2. Невозмущенное движение асимптотически устойчивым при если оно устойчиво по Ляпунову и для любого существует такое, что для всех возмущенных движений, удовлетворяющих условию существует предел Сфера при фиксированном является областью притяжения невозмущенного движения. Если областью притяжения является все пространство то невозмущенное движение наз. асимптотически устойчивым в целом. Кроме этих осн. определений устойчивости существует много других (устойчивость по Лагранжу, орбитальная устойчивость, -устойчивость, устойчивость инвариантного множества и др.). Понятие устойчивости относится к движению, а не к системе, но для краткости говорят об устойчивых и неустойчивых системах, подразумевая под устойчивостью НС устойчивость их невозмущенного движения.

Важный класс НС составляют линейные НС (ЛНС), для которых уравнение (4) имеет вид

где - -матрица, элементы которой в общем случае являются функциями времени. Для случая, когда постоянная матрица, верна следующая теорема.

Теорема 1. ЛHC (5) с постоянной матрицей А устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические числа (собственные значения) матрицы А обладают неположительными вещественными частями

причем характеристические числа с нулевой вещественной частью допускают лишь простые элементарные делители. Если то линейная система асимптотически устойчива.

Характеристические числа матрицы А являются корнями ее характеристического (векового) уравнения

где I — единичная матрица.

Поскольку уравнения высоких степеней не имеют общих выражений для корней, то важное значение приобретают правила, по которым можно судить о знаках действительных частей корней уравнения (7), не решая его. Эти правила являются устойчивости критериями для системы (5) с постоянной матрицей. Критериями такого типа являются, напр., критерии Рауса, Гурвица, Михайлова, Найквиста.

Среди с переменными параметрами более всего изучены системы с периодической матрицей

К этому классу относятся, напр., системы управления на переменном токе.

Теорема 2 (Флоке). Для ЛHC (5) с сопериодической матрицей, нормированная при фундаментальная матрица решений (матрицам) имеет вид

где кусочно-гладкая сопериодическая неособенная матрица, причем — постоянная матрица.

Матрицу матрицей монодромии. Собственные значения матрицы монодромии, т. е. корни характеристического уравнения

называются мультипликаторами.

Теорема 3. ЛHC (5) с -периодической непрерывной матрицей устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические числа матрицы монодромии (мультипликаторы) -расположены внутри замкнутого единичного круга причем мультипликаторы, лежащие на окружности допускают лишь простые элементарные делители.

Для асимптотической устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все мультипликаторы находились строго внутри единичного круга

Поскольку в общем случае не существует метода определения мультипликаторов, изложим один из приближенных способов их вычисления. С помощью точек разобъем интервал на равных частей, и пусть

В дифф. уравнении

заменим сопериодическую матрицу кусочно-постоянной матрицей

где . Обозначим символом непрерывную матрицу, удовлетворяющую в точках непрерывности матрицы (11) дифф. уравнению

Тогда

и

Так как корни характеристического уравнения

являются непрерывными функциями параметра h, то в силу соотношения (14) имеем

Таким образом, выбрав h достаточно малым, из уравнения (15) можно определить мультипликаторы с любой степенью точности.

Нелинейные НС (ННС) вида (4) исследованы значительно меньше, чем ЛHC. Для исследования устойчивости системы (4) рус. математик А. М. Ляпунов (1857— 1918) выяснил условия, при которых задача об устойчивости решается по первому приближению. Для этого правые части уравнений (3) раскладывают в ряд по степеням и уравнение (4) записывают в виде

где непрерывная вектор-функция от высших степеней х.

Пусть для случая — постоянная матрица) выполняется условие

равномерно по

Теорема 3. Если система первого приближения асимптотически устоичива, то тривиальное решение системы (17) асимптотически устойчиво по Ляпунову при . Если же хотя бы одно собственное значение матрицы А обладает положительной вещественной частью, то оно неустойчиво по Ляпунову при . Аналогичные теоремы доказаны и для общего случая

В критических случаях (когда вещественная часть хотя бы одного собственного значения матрицы А равна нулю) уравнения первого приближения не всегда дают ответ на вопрос об устойчивости полной системы. Одним из существенных результатов в области исследования критических случаев является теорема Андронова—Витта. Пусть автономная система

допускает сопериодические решения . Тогда система первого приближения имеет вид

где .

Теорема 4 (Андронова — Витта). Пусть система первого приближения (20) имеет один простой мультипликатор, равный 1, а остальные ее мультипликаторы находятся строго внутри единичного круга . Тогда -периодическое решение системы (19) устойчиво по Ляпунову при

Метод исследования устойчивости ННС по первому приближению гарантирует лишь асимптотическую устойчивость в малом (т. е. для достаточно малых начальных отклонений) и не охватывает полностью критических случаев, а также не применим к системам, для которых не выполнено условие (18).

Осн. универсальным методом решения задач теории устойчивости ННС, позволяющим получать условия асимптотической устойчивости в некоторой области и даже в целом, является прямой метод Ляпунова, который сводится к построению спец. вспомогательных функций (см. Ляпунова методы). Основу этого метода составляют теоремы, которые наиболее просто формулируются для автономных систем.

Теорема 5 (1-я теорема Ляпунова). Если для дифф. уравнений (4) существует такая функция обращающаяся в нуль лишь в начале координат, что ее полная производная по времени полученная в силу уравнений (4), неположительна или тождественно равна нулю, то невозмущенное движение системы (2) устойчиво.

Теорема 6 (2-я теорема Ляпунова). Если выполнены условия теоремы 5 и функции обращаются в нуль только в начале координат, то невозмущенное движение системы (2) устойчиво асимптотически.

Теор теорема Ляпунова). Если для дифф. уравнений (4) существует такая функция что ее полная производная по времени составленная в силу уравнений (4), удовлетворяет условиям теоремы 6-й и в сколь угодно малой окрестности начала координат функция может принимать отрицательные значения, то невозмущенное движение системы (2) неустойчиво.

Практическое применение этих теорем затруднено тем, что общего метода построения функций Ляпунова) не существует.

Наиболее исследованным является класс ННС, описываемый векторно-матричным уравнением вида

где А — постоянная (-матрица, b и с — -мерные постоянные векторы (знак означает эрмитово сопряжение), нелинейная ф-ция .

Осн. результаты для абсолютной устойчивости таких систем получены с помощью т. н. частотных методов.

Определение 3. Абсолютная устойчивость системы (21) — это асимптотическая устойчивость в целом для некоторого класса нелинейностей

Классы функций задаются квадратичными неравенствами вида

где — некоторые числа. Напр., наиболее распространенный (и наиболее изученный) класс задается так:

или

При исследовании абсолютной устойчивости применяют два подхода: прямой метод Ляпунова в сочетании с методом матричных неравенств Якубовича—Калмана и метод интегр. оценок Попова. При первом подходе используется ф-ция Ляпунова вида

где постоянная (-матрица и некоторая постоянная, которые выбираются из условия для заданного класса нелинейностей ). При решении задачи выбора матрицы и параметра Ф применяется спец. прием (-процедура), состоящий в том, что условие заменяется условием что в данном случае -процедура не приводит к «ухудшению» результата). Проблема выбора сводится к нахождению условий существования решения

некоторых матричных неравенств. Эти условия следуют из спец. алгебр, леммы Якубовича — Калмана и имеют вид частотных неравенств, которые накладывают ограничения на параметры системы.

При втором подходе уравнение системы записывается в интегр. форме

где реакция линейной части системы на ненулевые начальные условия, и составляющая решения обусловленная наличием обратной связи (нелинейного регулятора), к импульсная переходная характеристика линейной части системы. Предполагается, что она удовлетворяет условиям

При выражения (21) и (24) совпадают. Однако уравнение (24) является более общим, т. к. оно охватывает случай линейной части системы с распределенными параметрами. Метод интегр. оценок Попова (назван по имени рум. матем. В. М. Попова, который впервые применил его для решения задачи об абсолютной устойчивости) основан на совместном изучении уравнения (24) и положительных функционалов следующего вида:

где квадратичная форма, при составлении которой исходят из квадратичных связей, которым удовлетворяют входы и выходы нелинейностей. Так, для класса нелинейностей, заданного условием (23), рассматривается форма где — некоторая положительная постоянная.

Аргументами формы являются вещественные величины . Считая независимыми переменными, распространим (с сохранением эрмитовости) форму на комплексные значения . Положим

где . Здесь комплексная величина, — чисто мнимый параметр и передаточная функция линейной части системы обозначает операцию преобразования по Лапласу).

Теорема 8. Предположим, что выполнемо условие (25). Тогда, если а) где некоторая постоянная, зависящая от начальных условий и такая, что при форма является неотрицательной формой ; в) форма для всех то система (24) абсолютно устойчива. Условие (в) накладывает ограничения на частотную характеристику линейной части системы в виде частотного неравенства, при выполнении которого гарантируется абсолютная устойчивость системы для заданного класса нелинейностей.

Характерно, что для одних и тех же классов нелинейностей оба подхода в большинстве случаев дают одни и те же условия абсолютной устойчивости. Хотя второй подход охватывает более широкий класс систем, вида (24), первый подход не утратил своего значения. Его аппарат позднее был применен к исследованию асимптотической устойчивости в области (определение области притяжения), к получению условий диссипативности и изучению других свойств системы (21).

Центральным результатом, полученным при использовании частотных методов, является следующая теорема.

Теорема 9 (частотный критерий Попова). Система (21) или (24) абсолютно устойчива, если а) однозначная непрерывная функция, принадлежащая классу нелинейностей, выделяемому условием (23); б) линейная часть системы асимптотически устойчива; в) при всех 0 со выполнено неравенство

где передаточная функция линейной части системы для системы произвольная постоянная, выбираемая из условия выполнения (28).

Эти подходы были обобщены на случай систем со многими нелинейностями

где А, В, С — постоянные соответственно матрицы, — -мерный вектор нелинейностей.

Теорема 10. Система (23) абсолютно устойчива, если а) однозначные непрерывные ф-ции, удовлетворяющие условиям

б) линейная часть системы асимптотически устойчива; в) при всех выполнено неравенство

где диагональная матрица, — диагональные матрицы, выбираемые из условия выполнения неравенства передаточная матрица линейной части системы, под подразумевается U Как и в предыдущей теореме, утверждения теоремы 7 справедливы и для случая линейной части системы с распределенными параметрами. В дальнейшем были получены условия абсолютной устойчивости для систем (в т. ч.- в некоторых критических случаях) с нестационарными, неоднозначными (гистерезисными) и разрывными нелинейностями, а также для систем, обладающих множеством равновесных состояний. Получены критерии устойчивости, учитывающие более тонкие свойства нелинейностей, как, напр., ограниченность производной, монотонность, нечетность и т. д. Для этого были рассмотрены функции Ляпунова вида

где или функционалы

где квадратичная форма .

Достаточно общий формализованный метод получения частотных критериев абсолютной устойчивости предложил сов. математик В. А. Якубович.

Лит.: Гантмахер Ф. Р., Якубович В. А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. В кн.: Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, в. 1. М., 1965; Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., 1966; Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. «Автоматика и телемеханика», 1967, т. 28, № 6; Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967 [библиогр. с. 466—469]; Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. М., 1964 [библиогр. с. 324—465]; Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. Пер. с рум. М., 1970 [библиогр. с. 435.-453]. М. М. Лычак, О. С. Яковлев.