СИСТЕМЫ С ВРЕМЕННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

— массового обслуживания системы, в которых время ожидания требования либо время пребывания его в системе ограничено случайной величиной или постоянным числом. Подобные системы встречаются в торговле и снабжении (время ожидания скоропортящихся продуктов, т. е. время от момента производства до момента поступления их к потребителю ограничено), в производственных процессах (при конвейерном производстве обслуживание изделия может осуществляться лишь в интервале времени, когда оно находится на рабочем месте данного оператора), на транспорте, в особенности авиационном (самолет, идущий на посадку, должен быть обслужен до момента израсходования топлива), в медицине (допустимое время обслуживания пациента с острым заболеванием или травмой ограничено) и во многих других областях. Различают системы с ограниченным временем ожидания, системы с ограниченным временем пребывания требований и системы с комбинированными ограничениями на время ожидания и время пребывания требований.

В системах с ограниченным временем ожидания возможны т. н. полные потери: часть требований покидает систему, не будучи принятыми к обслуживанию. Напр., скоропортящиеся продукты, не реализованные в течение заданного времени, бракуются. В системах с ограниченным временем пребывания часть требований покидает систему до окончания обслуживания; эти требования наз. частично потерянными. Напр., при обработке радиолокационной информации в случае задержки начала обработки данного объекта (самолета, спутника) за время пребывания его в зоне действия радиолокатора параметры объекта могут быть определены, но с точностью, ниже заданной. Классические системы массового обслуживания с ожиданием и с потерями — частные случаи С. с в. о.: для первых максимально допустимое время ожидания и время пребывания требований равно бесконечности, для последних — допустимое время ожидания равно 0, а допустимое время пребывания равно .

Важнейшими характеристиками С. с в. о. со стационарными потоками случайными на входе являются: вероятность полного обслуживания требования, вероятность частичной потери требования, вероятность полной потери требования, распределение времени ожидания требования, обслуженного полностью или частично. Наиболее изучены однолинейные С. с в. о. с Пуассона потоком на входе. Поведение таких систем описывается однородным марковским процессом который определяется следующим образом. Если в момент прибор свободен, в противном случае равно времени от момента t до того момента, когда требования, поступившие раньше покинут систему (для систем с ожиданием процесс представляет собой т. н. виртуальное время ожидания; если предположить, что в момент t в систему поступит требование, то его время ожидания составит Предположив, что процесс обладает эргодическим распределением (см. Эргодическая теория), функция распределения, соответствующая этому распределению, т. е. имеет следующий вид. При где q — вероятность незанятого состояния обслуживающего прибора, ф-ция, удовлетворяющая ур-нию

с условием

В данном ур-нии X обозначает интенсивность входящего потока требования, ф-цию распределения времени обслуживания, ф-цию распределения максимально допустимого времени ожидания требования, условную ф-цию распределения допустимого времени пребывания требования в системе во время его обслуживания при условии, что время ожидания начала обслуживания равно у.

Важнейшие характеристики системы выражаются через решение приведенного интегрального уравнения следующим образом. Вероятность полной потери требования вероятность частичной потери требования функция распределения времени ожидания требования, обслуженного полностью

Многолинейные С. с в. о. с рекуррентным входящим потоком изучают методом случайного блуждания в простр., размерность которого на единицу больше числа приборов. Существуют явные аналитические выражения характеристик систем с ограниченным временем ожидания и ограниченным временем пребывания требований при пуассоновском входящем потоке и экспоненциально распределенном времени обслуживания. Более общие задачи решают численными методами (гл. о. Монте-Карла методом).

Важным свойством С. с в. о. является их устойчивость. Если однородный марковский процесс, описывающий поведение системы, то устойчивость означает, что любому можно поставить в соответствие ограниченное мн-во так, что при всех . Пусть обозначает время занятия прибора требованием, поступившим в момент, когда значение равно у. Если предположить, что входящий поток является рекуррентным, а система однолинейная, то условие, достаточное для устойчивости системы, состоит в выполнении следующих двух соотношений:

1) при

где ф-ция распределения неотрицательной случайной величины, удовлетворяющая условию: меньше времени между поступлением требований;

2) при

где ф-ция распределения некоторой неотрицательной случайной величины с конечным математическим ожиданием.

Частный случай С. с в. о. исследуют методом однородных марковских процессов с состояниями Именно, предположим, что имеется приборов, обслуживающих требования по экспоненциальному закону с параметром вероятность появления требования в интервале при условии, что в момент в системе присутствует к требований, равно , допустимое время ожидания начала обслуживания - экспоненциально распределенная случайная величина с параметром о, не зависящая от времени ожидания. Тогда, если число требований в системе в момент t, то однородный марковский процесс с неотрицательными целочисленными значениями и возможными скачками единичной величины (т. н. процесс размножения и гибели), причем

Лит.: . И. H. Коваленко.