СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ.

Пусть А и В — линейные дифф. операторы в частных производных. Нетривиальные решения ур-ния

удовлетворяющие заданным однородным краевым условиям

где некоторый дифф. оператор, наз. собственными функциями задачи соответствующие им значения параметра А — собственными значениями ур-ния (1). Если тождественный оператор), то вместо (1) получаем ур-ние

часто встречающееся в различных разделах математики и ее приложениях.

Напр.: а) с. з. задачи для прямоугольной области , где А — оператор Лапласа, определяются по ф-ле

б) если (бигармонический оператор), а область — круг, то при условиях

производная по направлению нормали к контуру) ур-ние (3) приводится к обыкновенному дифф. ур-нию, и с. з. определяются через корни ф-ций Бесселя; в) если , а область — прямоугольник, то при условиях на двух противоположных сторонах прямоугольника (условия на двух остальных сторонах — любые), решение ур-ния (3) ищем в виде

В (4) - неизвестная ф-ция. Подставив (4) в (3) и разделив переменные, получим обыкновенное дифф. ур-ние 4-го порядка относительно ф-ции Найдя общее решение этого ур-ния и подчинив его заданным краевым условиям, получаем трансцендентное ур-ние, корни которого определяют значения параметра С. з. задачи

( для прямоугольника вычисляют по )

Если точное решение ур-ния (1) или (3) получить невозможно, с. з. определяют с помощью различных прибл. методов.

Метод Релея — Ритца применяют для ур-ния (3) с положительно определенным оператором, с. ф. которого обладают важными экстрем, свойствами, позволяющими свести задачу определения с. з. к исследованию экстремума функционала

Последнюю задачу решают по методу Релея — Ритца: задают последовательность координатных ф-ций линейное нормированное простр. (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), в котором норму элемента задаем равенством которые при любом линейно независимы и образуют полную систему в энерг. простр. ; прибл. решение ур-ния (3) представляется в виде

из условия минимума функционала (5) при получаем систему линейных однородных ур-ний относительно коэфф.

приравняв определитель системы (7) нулю, приходим к ур-нию степени относительно А,

Все корни ур-ния (8) — положительны. Если их расположить в порядке возрастания, т. е. то каждый из этих корней является прибл. значением соответствующего с. з. исходного ур-ния (3), причем

Метод Релея — Ритца эффективен при вычислении первых с. з. и дает для этих значений приближения сверху При вычислении с. з. с большими номерами возникают трудности, связанные с аппроксимацией с. ф.

линейной комбинацией (6): как правило, в выражении (6) приходится брать достаточно большое к-во координатных ф-ций, что очень усложняет процесс вычислений и может привести к накоплению больших округления погрешностей. Удачный выбор координатных ф-ций существенно влияет на точность прибл. решений, получаемых по методу Релея — Ритца. В частности, если ф-ции образуют ортонормиро-ванную систему, то ур-ние (8) упрощается и приобретает вид

В методе Бубнова — Галеркина прибл. решение ур-ния (3) представляется в виде (6), где последовательность ф-ций, достаточное к-во раз дифференцируемых и удовлетворяющих всем краевым условиям, а также условиям линейной независимости и полноты. Проектируя невязку на подпростр., образованное ф-циями и требуя выполнения условия ортогональности

получаем систему ур-ний вида (7) относительно Приравняв определитель этой системы нулю, снова приходим к ур-нию вида (8). Если оператор А — положительно определенный, то методы Релея — Ритца и Бубнова — Галеркина совпадают. В общем случае метод Бубнова — Галеркина имеет большую область применимости, в силу менее жестких ограничений, накладываемых на оператор А.

Асимптотический метод разработан в связи с решением задач о свободных колебаниях пластин и оболочек. Пусть требуется определить частоты собственных колебаний пологой, прямоугольной в плане оболочки с постоянными главными кривизнами. Эта задача приводится к интегрированию дифф. ур-ния порядка вида

где а, b, с — const. Согласно этому методу, рассматриваются т. н. «внутреннее» решение, которое удовлетворяет ур-нию (10), но, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям, и решение в окрестности границы, удовлетворяющее всем граничным условиям и стремящееся асимптотически к «внутреннему» решению при удалении от границы области. Склеивая эти два решения, получают трансцендентные ур-ния для вычисления неизвестных параметров, которые входят в выражение для с. з. В качестве «внутреннего» решения ур-ния (10) можно взять выражение

где нормирующий множитель, подлежащие определению параметры. В окрестности линии решение определяется в виде

Подстановка (12) в (10) приводит к дифф. ур-нию порядка с постоянными коэфф. относительно

Применение асимптотического метода возможно, если среди корней характеристического ур-ния, соответствующего ур-нию (13), найдется не менее трех корней с отрицательной действительной частью. Напр., если общий интеграл ур-ния (13) имеет вид

Свеах

то, отбрасывая члены, неограниченно возрастающие с увеличением х, получаем в окрестности границы прибл. решение

где

Выражение (15) позволяет удовлетворить всем краевым условиям на линии предельному соотношению

Метод конечных разностей состоит в замене дифф. оператора и операторов краевых условий конечноразностными выражениями, в результате чего исходная задача заменяется некоторой ее дискретной моделью

Задача (17) равносильна вычислению собственных векторов и с. з. матрицы (см. Собственных значений и собственных векторов матриц способы, вычисления), порядок которой определяется к-вом внутренних узлов сеточной области. Переход от ур-ния (3) к его дискретному аналогу (17) возможен для произвольных областей и произвольных операторов, в частности, для тех, которые содержат переменные

коэфф. Это придает методу конечных разностей достаточную универсальность. Но если краевые условия содержат производные высоких порядков (а это часто бывает в практически важных задачах), то для произвольных областей возникают трудности, связанные с аппроксимацией краевых условий конечноразностными выражениями.

Метод приближенного разделения переменных (метод расщепления) применяют для прямоугольных областей, если оператор А имеет вид

а оператор В либо является тождественным оператором, либо содержит лишь производные с постоянными коэфф. Этот метод применим и для дискретных, и для непрерывных задач при самых общих краевых условиях. Если задачу (1) — (2) заменить дискретным аналогом, то этот метод позволяет найти достаточно хорошее нулевое приближение для полной проблемы с. ф. и с. з. разностной задачи, минуя вычисление корней характеристического определителя. Это приближение затем может быть уточнено одним из известных итерационных методов решения алгебр, проблемы с. з. и собственных векторов. Метод особенно эффективен при вычислении с. з., соответствующих высшим формам колебаний. Если задача (1) — (2) допускает разделение переменных в обычном смысле, то метод прибл. разделения переменных вырождается в классический метод Фурье.

По методу коллокаций прибл. решение задачи (1) — (2) ищем в виде (6), где некоторые параметры, а ф-ции удовлетворяют краевым условиям (2). Требуя, чтобы выражение (6) удовлетворяло ур-нию (1) в заданных точках области (точках колло-кации), получаем однородную систему линейных алгебр, ур-ний относительно параметров п. Приравняв определитель этой системы нулю, получаем ур-ние для нахождения приближенных с. з. Метод коллокаций отличается простотой, но результаты вычислений сильно зависят от выбора точек к.

В методе минимизации среднеквадратичной погрешности приближенное решение задачи (1) — (2) представляется в виде линейной комбинации (6) ф-ций удовлетворяющих краевым условиям (2). Из условия минимума функционала

получаем ур-ния для определения приближенных с. з. и постоянных

Метод суммарных представлений применяют в случае самосопряженных операторов с постоянными коэфф. для областей, составленных из прямоугольников, областей с разрезами и выемками и др. Этот метод является конечноразностным аналогом метода интегр. представлений в матем. физике. Решение разностной задачи в любой точке сеточной области при большом к-ве узлов представляется в виде т. н. формул суммарных представлений, содержащих сравнительно небольшое к-во параметров. Относительно последних составляют системы линейных алгебр, ур-ний, содержащих параметр X. Приравняв 0 определитель этой системы, получают характеристическое ур-ние для определения с. з. разностной задачи. С. ф. даются ф-лами суммарных представлений. Этот метод предложил сов. математик Г. Н. Положий (1914—68). Лит.: Болотин В. В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек. «Прикладная математика и механика», 1960, т. 24, в. 5; Положий Г. Н. Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функции дискретного аргумента. К., 1962 [библиогр. с. 157—159]; Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1966; Бабаков И. М. Теория колебаний. М., 1968; Буледза А. В. Об одном методе исследования свободных колебаний прямоугольных пластин. «Прикладная механика», 1970, т. 6, в. 9; Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970 [библиогр. с. 502—510]; Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. Пер. с нем. М., 1968 [библиогр. с. 501—503]. А. В. Буледза.