ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

— теория, выражающая определенную регулярность предельного поведения траекторий механических систем и некоторых случайных процессов. Э. т. относится к области предельных теорем, изучаемых в вероятностей теории, функциональном анализе и теории дифф. уравнений; имеет приложения в статистической физике и др. Так, для консервативной мех. системы в фазовом пространстве S (см. Фазового пространства метод), рассматриваемой в моменты времени .

для произвольного мн-ва Е (измеримого по Лебегу, т. е. среди точек доля тех, которые попали в Е, при имеет предел почти для любого начального состояния . Точкам пространства S может быть приписан различный (интегрируемый в S) положительный вес словами, рассматривается некоторая числовая величина определяемая мгновенным положением системы). В этом случае существует предел соответствующих взвешенных средних: Интересен случай, когда предел не зависит от начального состояния . В этом (эргодическом) случае он оказывается равным фазовому среднему Лебегова мера в

Для марковских процессов Э. т. устанавливает условия существования предельного распределения

Процесс наз. эргодическим, если этот предел существует и не зависит от начального состояния

Отправным моментом в Э. т. является полугрупповое свойство траекторий консервативной мех. системы: для всех и всех моментов времени , и теорема Лиувилля, утверждающая, что мера такой системы инвариантна: для всех или дискретно: Следовательно, проблема сводится к изучению полугрупп, сохраняющих меру преобразований пространства на себя (или групп, если задача допускает обращение во времени).

Множество инвариантным, если при любом почти всюду совпадает с Е. Совокупность инвариантных мн-в образует -алгебру . Преобразование метрически транзитивным, если -алгебра тривиальна.

Первый осн. результат (теорема Биркгофа — Хинчина) утверждает, что в фазовом пространстве S с конечной мерой для произвольной интегрируемой для почти всех х существует для дискретного Для метрически транзитивных преобразований только для них)

Если мера нормирована то в вероятностном пространстве порождает стационарный случайный процесс в узком смысле для которого приведенная теорема относится к классу усиленных больших чисел законов. Предел изучаемой величины есть условное математическое ожидание или фазовое среднее, если -алгебра тривиальна. В последнем случае процесс наз. эргодическим, или метрически транзитивным.

Эргодичность стационарного процесса эквивалентна тому, что Это соотношение выполняется, если процесс обладает свойством перемешивания: Если процесс не является эргодическим, но мера совершенна и сепарабельна, то существует разбиение S на непересекающиеся инвариантные мн-ва и такое семейство вероятностных мер для любого по отношению к каждой из вероятностных мер представляет собой стационарный эргодический процесс.

Если случайный процесс является эргодичным, то любая функция от этого процесса также обладает свойством эргодичности, т. е. имеет равные временное и фазовое среднее. В частности, Если при всех t определить линейное преобразование равенством то есть унитарных (сохраняющих норму) преобразований в и предел временных средних в терминах операторов выражается так:

Второй осн. результат (теорема Неймана): для существует и есть проекция f на подпространство инвариантных ф-ций (полу) группы Для имеет место сходимость в пространстве . В терминах случайных процессов теории теорема Неймана означает, что для стационарного в широком смысле процесса существует

равный приращению в нуле спектральной функции процесса

Естественным обобщением понятия полугруппы сохраняющих меру преобразований в случае марковского процесса с переходной функцией служит полугруппа операторов линейных если предположить, что для этого процесса существует инвариантная мера Для таких преобразований справедливы обе эргодические теоремы в дискретной формулировке, а также в непрерывном случае при дополнительном условии сильной непрерывности по

Для существования инвариантной меры для процесса с дискретным временем и переходной ф-цией , абсолютно непрерывной относительно некоторой меры , необходимо и достаточно, чтобы при каждом для всех При этом, если , то

Если для некоторой конечной меры , целого , как только (условие Деблина), то инвариантная мера

существует для всякого . Множество инвариантным, если для всех .

Для марковского процесса для которого выполнено условие Деблина, существует не более различных миним. инвариантных мн-в фазового пространства S. Если система непересекающихся инвариантных мн-в пространства S, то для любого т. е., отправляясь из любой точки , блуждающая частица с вероятностью 1 через конечное число шагов попадет в одно из инвариантных мн-в и останется там.

Предельное стационарное распределение одно и то же для всех х, принадлежащих одному и тому же инвариантному ми-ву Всякая инвариантная мера Q (Е) в фазовом пространстве представляет собой линейную комбинацию взаимно перпендикулярных стационарных вероятностей

Для определенного класса Маркова цепей с непрерывным временем, дискретным мн-вом состояний и переходной ф-цией вероятности перехода из состояния в состояние за время существуют финальные вероятности находиться в состоянии При этом где среднее время возвращения в состояние и для времени ТА пребывания во мн-ве состояний А за промежуток времени с вероятностью так же Эргодическое состояние).

Пример. Для системы, состояние которой определяется числом частиц в некоторой области пространства, и за единичный промежуток времени с вероятностью g каждая из частиц которой может покинуть область, а новых частиц появляются с вероятностью переходная вероятность при сходится к -е -

Если возвратный диффузионный процесс в открытом интервале граничные точки которого являются отталкивающими) и для времени возвращения процесса в исходную точку то существует стационарное распределение .

Лит.: Xинчин А. Я. Математические основания статистической механики. М.- Л., 1943; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. М., 1967 [библиогр. с. 481— 487]; Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. Пер. с англ. М.- Л., 1956 [библиогр. с. 589—5983; Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории. Пер. с англ. М., 1959 [библиогр. с. 145]; Данфорд Н.. Щварц Дж. Линейные операторы. Пер. с англ., ч. 1. м., 1962; Хилле Э., Филлипс Р, Функциональный анализ и полугруппы. Пер. с англ. М., 1962 [библиогр. с. 787-804]; Морен К. Методы гильбертова пространства. Пер. с польс. М., 1965 [библиогр. с. 556—563]; Иосида К. функциональный анализ. Пер. с англ. М., 1967 [библиогр. с. 597—612]. Г. Н. Сытая.