Ãëàâíàÿ > Ýíöèêëîïåäèÿ êèáåðíåòèêè. Ò. 2
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈÅ ÂÛÏÓÊËÎÅ

— ðàçäåë ïðîãðàììèðîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî, èçó÷àþùèé çàäà÷è ìèíèìèçàöèè, â êîòîðûõ ìèíèìèçèðóåìàÿ ôóíêöèÿ âûïóêëà, à îãðàíè÷åíèÿ çàäàþòñÿ òàêæå âûïóêëûìè ôóíêöèÿìè.  îáùåé ôîðìå çàäà÷à Ï. â. ìîæåò áûòü çàïèñàíà òàê: ìèíèìèçèðîâàòü ô-öèþ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ

ãäå - -ìåðíûé âåêòîð, îò — âûïóêëûå ô-öèè. Çàäà÷è Ï. â. âñòðå÷àþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêå, ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé òåîðèè; çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè ô-öèé òàêæå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé çàäà÷è Ï. â.  ÷àñòíîñòè, â çàäà÷àõ àïïðîêñèìàöèè ô-öèé ïîÿâëÿþòñÿ òàêèå âûïóêëûå ô-öèè, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûìè, îíè òðåáóþò ñïåö. èçó÷åíèÿ.

Ïóñòü âûïóêëàÿ ô-öèÿ, îïðåäåëåííàÿ ïðè âñåõ õ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ìí-âî òàêèõ âåêòîðîâ ñ, äëÿ êîòîðûõ ïðè âñåõ ó âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: ãäå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Ìí-âî íåïóñòî, âûïóêëî, çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî.  ñëó÷àå, åñëè äèôôåðåíöèðóåìàÿ ô-öèÿ â òî÷êå õ, ìí-âî ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî âåêòîðà ñ, ñîâïàäàþùåãî ñ ãðàäèåíòîì ô-öèè

Õàðàêòåðèñòèêà òî÷êè ìèíèìóìà â çàäà÷å Ï. â. äàåòñÿ òåîðåìîé Êóíà — Òàêêåðà: åñëè ðåøåíèå çàäà÷è Ï. â., òî íàéäóòñÿ òàêèå íåîòðèöàòåëüíûå, íå âñå ðàâíûå íóëþ ÷èñëà ÷òî

Ïðè ýòîì, åñëè , òî óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ è äîñòàòî÷íûìè. Ñóùåñòâóåò ðÿä óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî . Ïðîñòåéøåå èç íèõ: åñëè ñóùåñòâóåò òî÷êà òàêàÿ, ÷òî , òî ìîæíî ïîëîæèòü .  ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà Êóíà — Òàêêåðà ìîæåò áûòü ïåðåôîðìóëèðîâàíà â ñëåäóþùåì ýêâèâàëåíòíîì âèäå. Ïîëîæèì

Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû òî÷êà áûëà ðåøåíèåì çàäà÷è Ï. â., íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ ÷èñåë , ÷òî

ïðè÷åì íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ õ è äëÿ âñåõ Åñëè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (2), òî ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êà åñòü ñåäëîâàÿ òî÷êà ô-öèè .

Ïðèâåäåííûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà çàïèñàíû â ãëîáàëüíîé ôîðìå. Îäíàêî èì ìîæíî ïðèäàòü è äèôô. ôîðìó. À èìåííî: äëÿ òîãî, ÷òîáû òî÷êà áûëà ðåøåíèåì çàäà÷è Ï. â., íåîáõîäèìî, ÷òîáû íàøëèñü òàêèå ÷èñëà íå âñå ðàâíûå íóëþ, è òàêèå âåêòîðû , ÷òî îò. Åñëè òî óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè.

Ñëåäóþùèå ô-ëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìíîæåñòâ ïîçâîëÿþò ýôôåêòèâíî çàïèñûâàòü íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà â äèôô. ôîðìå: åñëè òî . È åñëè , òî äëÿ ëþáîãî íàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà è âåêòîðû ÷òî . Çäåñü ìí-âî òåõ èíäåêñîâ , äëÿ êîòîðûõ Ýòè ô-ëû ïîçâîëÿþò ñòðîèòü ìí-âà äëÿ âûïóêëûõ ô-öèé, îáðàçîâàííûõ â ðåçóëüòàòå ñóïåðïîçèöèè äðóãèõ âûïóêëûõ ô-öèé.

 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ çàäà÷à Ï. â. ìîæåò ñòàâèòüñÿ â äðóãîé ôîðìå, â êîòîðîé îãðàíè÷åíèÿ íà ïåðåìåííûå çàäàíû íå â âèäå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü âûïóêëóþ ô-öèþ ïðè óñëîâèè, ÷òî õ ïðèíàäëåæèò âûïóêëîìó ìíîæåñòâó X. Ïóñòü òî÷êà ðåøåíèå çàäà÷è. Îïðåäåëèì âûïóêëûé êîíóñ êàê ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ ó, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ãäå Ñîïðÿæåííûé èëè äâîéñòâåííûé îòíîñèòåëüíî êîíóñ (îáîçíà÷àåòñÿ ) îïðåäåëÿåòñÿ, êàê ìí-âî âñåõ âåêòîðîâ ñ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó äëÿ âñåõ Òîãäà äëÿ òîãî,

÷òîáû òî÷êà áûëà ðåøåíèåì ïîñòàâëåííîé çàäà÷è, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë òàêîé âåêòîð ÷òî Äëÿ ýôôåêòèâíîãî ïîñòðîåíèÿ êîíóñà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ðåçóëüòàòîì: åñëè âûïóêëàÿ ô-äèÿ è ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà ÷òî òî êîíóñ äëÿ îáëàñòè X, ñîñòîÿùåé èç òî÷åê õ òàêèõ, ÷òî , ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîé òî÷êè 0, åñëè è èç âåêòîðîâ ñ, ïðåäñòàâèìûõ â âèäå åñëè

Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ÃÃ. â. ðàçðàáîòàí ðÿä ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ (ñì. Âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé ìåòîä, Ãèïåðïëîñêîñòè îòñåêàþùåé ìåòîä, Îáîáùåííûõ ãðàäèåíòîâ ìåòîä).

Ëèò.: Ïøåíè÷íûé Á.Í. Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. Ì., 1969 [áèáëèîãð. ñ. 148—151]; Çóõîâèöêèé Ñ. È., Àâäååâà Ë. È. Ëèíåéíîå è âûïóêëîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Ì., 1967; Çîéòåíäåéê Ã. Ìåòîäû âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé. Ïåð. ñ àíãë. Ì., 1963 [áèáëèîãð. ñ. 171—1741.

Â. Í. Ïøåíè÷íûé.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå