ОТНОШЕНИЕ
— одно из основных понятий современной математики. Роль О. особенно возросла в связи с теоретико-множественной реконструкцией всей математики, которая была проведена в 20 ст. Пусть Е — мн-во. Любое свойство, которым может обладать элемент х, задает в Е подмножество А всех элементов, обладающих этим свойством, и наоборот, задание подмножества

определяет свойство элемента «х принадлежит А». Таким образом, свойство элементов Е полностью задается указанием некоторого подмножества А. В свою очередь, А может быть задано характеристической функцией

принимающей на А значение 1 и на

значение 0. Т. к. свойство «х справедливо при

и ложно при

, числа 1, 0 часто заменяются символами «истинно» и «ложно», так что область значений

состоит из этих двух «нечисловых» символов. Т. о., логика свойств совпадает с алгеброй множеств. Логика отношений связывает разные элементы, устанавливая отношения между ними. Теоретико-множественное понятие О. соответствует понятию предиката в логике математической. Это соответствие изучается в моделей теории.
Пусть задано некоторое О. Р, в котором могут находиться (или не находиться) элементы х, у мн-ва Е, записанные в указанном порядке. Пары
считаются упорядоченными, так что
при х суть разные пары. Мн-во всех таких упорядоченных пар наз. произведением Е на
(см. Множеств теория). Рассмотрим подмножество
всех таких пар
для которых х, у связаны О. Р. Тогда задание О. Р равносильно заданию А или характеристической ф-ции
равной 1, если х и у связаны О. Р, и 0 — в противном случае. О. Р наз. рефлексивным, если
и антирефлексивным, если
симметричным, если
и антисимметричным, если
при х; транзитивным, если из
следует
Существует несколько важнейших типов О.
Отношения равенства. В этом случае
при
и у находятся в О. Р тогда и только тогда, когда они совпадают. На каждом множестве существует единственное О. равенства, изображаемое обычно в виде
Отношения эквивалентности. Так наз. рефлексивные, симметричные и транзитивные О. (общее обозначение:
На данном мн-ве Е таких О. может быть много. Смысл О. эквивалентности обычно состоит в установлении некоторого сходства, родства между элементами по определенному признаку. Примеры О. эквивалентности:
мн-во целых чисел,
у означает, что х - у делится на
(х, у «сравнимы по модулю d»). Это О. записывается в виде
плоскость с координатами
для точек
эквивалентность
у означает, что
целые числа.
трехмерное пространство,
расстояние точки х от фиксированной точки О;
означает
Пусть
-конечное мн-во, называемое «алфавитом», с элементами
— мн-во слов из этого алфавита, т. е. конечных последовательностей его
включая «пустое слово», не содержащее ни одной буквы. Выделим в Е конечное число слов
и будем считать слова х, эквивалентными, если у получается из х конечным числом «элементарных операций», состоящих в удалении из слова или введении в слово сплошного куска, совпадающего с одним из
. эквивалентности задает разбиение мн-ва Е на классы эквивалентности, определяемые следующим образом. Класс
состоит из всех
, для которых
. Если
, то
так что разные классы не пересекаются и образуют разбиение Е. Всевозможные мн-ва
и суть классы эквивалентности для данного О. Мн-во всех таких классов наз. фактор-множеством мн-ва Е
по О. Р (запись:
). Отображение
, ставящее в соответствие элементу
класс
каноническим отображением для О. Р. Часто можно представить фактор-множество удобной «моделью» — мн-вом, находящимся в
соответствии с
примере (1) такой моделью служит мн-во вершин правильного
-угольника; в
получаемый из квадрата
у 1 скмиванием противоположных сторон; в (3) — полупрямая
где
. Смысл перехода к фактор-множеству состоит в «огрублении» изучаемого объекта, когда интересуются только некоторыми свойствами элементов мн-ва, отождествляя те элементы, которые этими свойствами не различаются. Так, в примере (1) пренебрегают целыми кратными d; в (2) — отождествляют все точки, переходящие друг в друга при целочисленных сдвигах вдоль осей координат; в (3) — интересуются только расстоянием точки от 0; в (4) — пренебрегают частями слов, входящими в список
. О. эквивалентности особенно важны в алгебре (см. Групп теория).
Отношение порядка. Так наз. антирефлексивные, транзитивные О. (общее обозначение:
Если для любой пары
либо
, либо
. порядка наз. линейным. Примеры упорядоченных
имеет обычный смысл
меньше у»; (6) Е — мн-во всех непрерывных действительных ф-ций на
означает
мн-во всех кортежей (упорядоченных последовательностей из
действительных чисел);
означает, что
предшествует
в лексикографическом расположении, т. е. для некоторого
НО
действительная ф-ция на
означает, что
. В примерах (5), (7) О. порядка линейно, а в (6), (8) — нет (иногда нелинейно упорядоченные мн-ва называют частично упорядоченными, см. Частично упорядоченное множество).
Пусть Е — упорядоченное мн-во,
. Элемент
наз. мажорантой (или минорантой) X, если для всех
или
соответственно,
ограниченным сверху (снизу), если X имеет мажоранту (миноранту); если X ограничено сверху и снизу,
ограниченным. Если во мн-ве мажорант (минорант) есть наименьший (наибольший) элемент z, то он наз. верхней (нижней) гранью X (обозначения:
- для верхней и
для нижней грани). Все эти понятия становятся наглядными для
Общее понятие отношения. Пусть
есть произведение мн-в, т. е. мн-во всех кортежей
. Отображение
наз.
-местным отношением (предикатом, логич. ф-цией) над Е. Мн-во
всех кортежей, для которых
определяет «свойство» кортежей:
состоят в отношении Р тогда и только тогда, когда
. При
приходят к «свойствам элементов»
при
к двуместным О.
. В случае
бинарными. Теория бинарных О. находит в настоящее время самые широкие приложения. Достаточно сказать, что вся графов теория является по существу теорией бинарных О.
Рассмотрим трехместное О. Р, удовлетворяющее следующему требованию: для любых х, существует один и только один
такой, что
Тогда каждой паре
ставится в соответствие однозначно определенный элемент
, т. е. на Е задается бинарная операция. Т. о., обычные алгебр. операции — это частный случай трехместных О., удовлетворяющих, кроме предыдущего условия, еще и другим («аксиомам»). Понятие отображения тоже можно рассматривать как О.: если
, то
задается своим графиком К - множеством пар
. График есть подмножество произведения
мн-ва всех пар
. Тем самым, задание
равносильно указанию «свойства» элементов
, т. е. заданию одноместного О. на
. Лит.: Бурбаки Н. Начала математики, ч. I. Основные структуры анализа, кн. 2. Теория множеств. Пер. с франц. М., 1965; Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. М., 1968. Л. В. Гладкий.