8.3. Линейные динамические системы

Линейными динамическими системами принято называть устройства, характеризуемые следующим свойством: их выходной сигнал определяется не только величиной входного сигнала в рассматриваемый момент времени, но и «предысторией» этого сигнала. Иначе говоря, динамическая система обладает некоторой конечной или бесконечной «памятью», от характера которой зависят особенности преобразования входного сигнала.

Системы, описываемые дифференциальными уравнениям.

Среди всевозможных динамических систем большое значение для теоретической радиотехники имеют те, которые описываются дифференциальными операторами. В общем случае речь идет о системах, для которых связь между одномерными входным и выходным сигналами устанавливается с помощью следующего дифференциального уравнения:

Предположим, что входной сигнал задан. Тогда правая часть уравнения (8.30), которую можно условно обозначить , является известной функцией. Анализ поведения системы сводится при этом к хорошо изученной в математике проблеме решения линейного дифференциального уравнения порядка с постоянными коэффициентами:

Порядок этого уравнения принято называть порядком динамической системы.

Рассмотрим несколько примеров динамических систем и соответствующих им дифференциальных уравнений.

Пример. 8.6. Дана -цепь вида Г-образного четырехполюсника, возбуждаемая со стороны входа источником ЭДС Выходным сигналом служит напряжение на конденсаторе.

Поскольку ток в цепи используя второй закон Кирхгофа, получаем дифференциальное уравнение

(8.32)

Итак, RC-цепь служит примером динамической системы 1-го порядка. Важнейший параметр этой цепи — постоянная времени определяющая характерный временной масштаб протекания процессов в системе.

Пример 8.7. Дана более сложная система, образованная двумя -цепями, которые разделены идеальным усилителем с коэффициентом усиления Входное сопротивление усилителя неограниченно велико, а выходное сопротивление бесконечно мало, поэтому усилитель является идеальным элементом развязки между цепями.

Вводя две постоянные времени по аналогии с предыдущим примером имеем следующие дифференциальные уравнения 1-го порядка:

Исключив отсюда вспомогательную величину получаем дифференциальное уравнение цепн:

Рассмотренная здесь более сложная RС-цепь оказывается уже системой 2-го порядка.

Пример 8.8. Найти дифференциальное уравнение параллельного колебательного контура с потерями, считая, что входным сигналом служит ток а выходным сигналом является напряжение u(t) на контуре.

Суммируя токи

получаем уравнение

которое путем однократного дифференцирования по времени приводится к виду

где — коэффициент затухания контура, — частота собственных колебаний в контуре без потерь.

Собственные колебания динамических систем.

Чтобы полностью определить поведение динамической системы, описываемой уравнением (8.31), требуется учесть начальные условия, которые характеризуют внутреннее состояние системы в некоторый фиксированный момент времени. Обычно принято задавать искомую функцию и ее производную при

Из теории дифференциальных уравнений известно [9], что решением уравнения (8.31), удовлетворяющим любым начальным условиям, является сумма некоторого частного решения неоднородного уравнения, у которого правая часть отлична от нуля, и общего решения однородного уравнения

Проблема решения однородного дифференциального уравнения связана с нахождением корней характеристического уравнения системы

Данное уравнение имеет ровно корней. Поскольку коэффициенты уравнения вещественны, корни могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными. Если все корни различны, то общее решение однородного уравнения (8.35), которое описывает собственные колебания системы, имеет вид

где — постоянные числа, определяемые из начальных условий.

Если же некоторые из корней оказываются кратными, то составляющие общего решения однородного уравнения несколько усложняются за счет появления секулярных (вековых) множителей. Так, если представляет собой -кратный корень, то ему отвечает совокупность собственных колебаний вида

Рассмотрим примеры собственных колебаний в линейных стационарных цепях.

Пример 8.9. Апериодическая разрядка конденсатора емкостью С, предварительно заряженного до напряжения и в момент времени замыкаемого на резистор сопротивлением

Цепь описывается следующим дифференциальным уравнением относительно переменной — напряжения на конденсаторе:

при единственном начальном условии

Характеристическое уравнение имеет корень Отсюда находим общее решение уравнения свободных колебаний:

Для того чтобы удовлетворить начальному условию, следует положить Окончательно имеем

Итак, отрицательному вещественному корню характеристического уравнения отвечает собственное колебание, экспоненциально убывающее во времени.

Постоянная времени данной цепи есть промежуток времени, в течение которого свободный процесс затухает в раз. Пример 8.10. Колебательная разрядка конденсатора.

Пусть предыдущий пример усложнен тем, что в цепи имеется также индуктивный элемент L. Дифференциальное уравнение цепи относительно тока составленное на основании второго закона Кирхгофа, имеет вид

где .

Первое начальное условие обусловлено наличием в контуре индуктивного элемента.

В начальный момент времени напряжение на конденсаторе уравновешивается ЭДС самоиндукции:

откуда следует второе начальное условие:

Характеристическое уравнение данной цепи

имеет комплексно-сопряженные корни

где — частота собственных колебаний системы. Если потери в контуре достаточно малы, то , поэтому

Общее решение однородного уравнения

содержит коэффициенты и удовлетворяющие системе алгебраических уравнений (см. начальные условия):

откуда

Подставив эти коэффициенты в выражение (8.39), получим окончательно

Частотный коэффициент передачи.

Если на вход линейной динамической системы поступает сигнал, имеющий комплексную математическую модель вида то сигнал на выходе мвых . Подставляя эти выражения в (8.30), после сокращения на общий множитель находим частотный коэффициент передачи системы:

Итак, частотный коэффициент передачи любой динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональную функцию переменной коэффициенты этой функции совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения.

В инженерных расчетах частотный коэффициент передачи линейныхсистем часто находят методами теории цепей на основании принципиальных схем, не прибегая к составлению дифференциальных уравнений. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример. 8.11. Частотный коэффициент передачи напряжения RC-цепи, схема которой приведена в примере 8.7.

Здесь

где - постоянная времени.

Уравнение АЧХ принимает вид

ФЧХ определяется следующим сказом:

Вид АЧХ указьшает на то, что такая цепь может использоваться в качестве фильтра нижних частот (ФНЧ).

Пример 8.12. Частотный коэффициент передачи напряжения Г-образного четырехполюсника, собранного из элементов L, С, R:

Здесь

откуда следует уравнение АЧХ

и уравнение ФЧХ

Если сопротивление потерь R достаточно мало, так что добротность системы , то данная цепь может с успехом выполнять роль полосового фильтра.

Усилитель малых сигналов с апериодической нагрузкой.

Типичным примером линейной динамической системы является электронный усилитель напряжения (рис. 8.1, а, б).

Для определенности в качестве управляемого элемента здесь взят биполярный транзистор типа , включенный по схеме с общим эмиттером.

Рис. 8.1. Усилитель напряжения: а — упрощенная принципиальная схема; б — эквивалентная схема ( — резистор нагрузки, — паразитная емкость)

Чтобы любые такие устройства можно было анализировать единообразно, принято использовать схемы замещения электронных приборов. Метод эквивалентных схем применим тогда, когда амплитуды переменных напряжений малы настолько, что можно пренебречь нелинейностью внешних характеристик электронных приборов. Например, биполярный транзистор достаточно точно описывается линейной схемой замещения, если амплитуда переменной составляющей входного напряжения мала по сравнению с так называемым температурным потенциалом -перехода где к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура перехода; — заряд электрона.

Как известно из теории цепей, схема замещения активного электронного приора (рис. 8.1, б) содержит управляемый источник тока, создающий в выходной цепи ток — — крутизна характеристики прибора в рабочей точке), а также выходное (внутреннее) сопротивление прибора включенное параллельно источнику тока.

Нагрузкой усилителя является параллельное соединение сопротивления и емкости такую нагрузку принято называть апериодической в отличие от колебательной нагрузки (-контура).

Полная проводимость, включенная параллельно источнику тока,

Если на вход усилителя подан гармонический сигнал с частотой со и комплексной амплитудой то комплексная амплитуда выходного напряжения

откуда частотный коэффициент передачи напряжения

где

Таким образом, рассмотренный усилитель напряжения с резистивно-емкостной нагрузкой имеет частотный коэффициент передачи такого же вида, как и RС-цепь.

На нулевой частоте значение АЧХ максимально; модуль коэффициента усиления . С ростом частоты усиление падает из-за шунтирующего действия паразитной емкости. Полосу пропускания усилителя принято оценивать граничной частотой на которой значения АЧХ уменьшаются в раз по сравнению с уровнем Из (8.43) видно, что так как

то

Пример 8.13. Усилитель, собранный по схеме рис. 8.1, имеет следующие параметры: . Вычислить коэффициент усиления на нулевой частоте и полосу пропускания усилителя.

Прежде всего находим эквивалентное сопротивление нагрузки

Модуль коэффициента усиления на нулевой частоте

Граничная частота усилителя

или .

Устойчивость динамических систем.

По определению, линейная динамическая система называется устойчивой, если все ее собственные колебания затухают во времени. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения (8.36).

Эти корни не должны быть также и чисто мнимыми. Хотя при этом собственные колебания есть гармонические функции вида

небольшие случайные изменения параметров системы могут привести к переходу ее в неустойчивый режим, когда

представляют собой экспоненциально нарастающие по амплитуде колебания.

Если порядок динамической системы достаточно высок, то прямая проверка устойчивости, основанная на поиске корней характеристического уравнения, может оказаться весьма затруднительной. Поэтому были разработаны специальные критерии устойчивости, позволяющие определять наличие корней с положительными вещественными частями непосредственно по виду коэффициентов, минуя само решение характеристического уравнения (см. гл. 14).

Возникновение нарастающих собственных колебаний в электрических цепях возможно лишь тогда, когда в составе цепи, помимо пассивных элементов L, С, R, содержатся активные элементы, передающие в цепь часть энергии от внешних источников. Распространенной моделью такого активного элемента служит резистор с отрицательным сопротивлением.

Пример 8.14. Колебательный контур с параметрами Ом содержит резистор с отрицательным сопротивлением включенный параллельно индуктивному элементу. Определить критическое значение этого сопротивления, при котором возникает неустойчивость цепи.

Дифференциальное уравнение данной цепи, составленное относительно напряжения и на индуктивном элементе, имеет вид

Корни характеристического уравнения имеют вещественные части

Система переходит в неустойчивый режим, когда величина обращается в нуль. Отсюда находим критическое значение отрицательного сопротивления:

Описание линейных динамических систем в пространстве состояний.

Любое дифференциальное уравнение порядка вида (8.31) можно преобразовать в систему дифференциальных уравнений 1-го порядка. Для этого следует ввести совокупность вспомогательных функций, построенную по правилу: Данные функции являются координатами вектора состояния который принадлежит пространству состояний рассматриваемой динамической системы.

Легко видеть, что при этом уравнение (8.31) эквивалентно следующей системе уравнений:

В матричном виде данная система записывается так:

Здесь

— постоянная матрица коэффициентов; — вектор-столбец внешних сигналов, действующих на систему.

Если ввести матричную экспоненциальную функцию посредством ряда

где I — единичная матрица размерности и и, то решение уравнения (8.46) запишется в виде, формально полностью совпадающем с решением одномерного дифференциального уравнения 1-го порядка [42]:

где ( — произвольный -мерный вектор начальных условий.