Вынужденные колебания

Пусть на материальную точку М одновременно действуют восстанавливающая сила и сила , явно зависящая от времени (рис. 14). Силы, явно зависящие от времени, в теории колебаний называются вынуждающими силами.

Особый интерес представляют периодические вынуждающие силы, значения которых через определенный промежуток времени , называемый периодом, повторяются: (рис. 15,а). Простейшим случаем периодической силы является гармоническая вынуждающая сила (рис. 15,б). В этом случае коэффициент H называется амплитудой вынуждающей силы, а величина — частотой (круговой, циклической) изменения вынуждающей силы.

Рис. 15.

Рассмотрим движение материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы и гармонической вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение движения имеет вид (координата отсчитывается от положения равновесия)

и после деления на массу и введения обозначений

может быть записано в следующей форме:

Чтобы найти закон движения точки, надо решить это уравнение при определенных, заданных начальных условиях: . Полученное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно из математики, общее решение такого уравнения является суммой двух функций:

где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Вид общего решения однородного уравнения нам уже известен:

Для определения частного решения неоднородного уравнения в математике существуют несколько способов. Воспользуемся методом специальной правой части, согласно которому частное решение следует искать в данном случае в виде

в котором D, Е — некоторые постоянные величины, пока неизвестные. Чтобы найти их значения, применяют метод неопределенных коэффициентов. Для этого решение , взятое в той или иной вышеуказанной форме, подставляется в решаемое дифференциальное уравнение, после чего производится уравнивание коэффициентов при одинаковых тригонометрических функциях в правой и левой частях полученного равенства, обязанного, по свойству решения дифференциального уравнения, быть тождеством по , т.е. выполняться в любой момент времени.

Примем во второй (амплитудной) форме и найдем первую и вторую производные:

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и приводя подобные члены, получаем:

Раскрывая и приравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства, получаем два уравнения для определения двух неизвестных — :

При уравнения не имеют решения, что свидетельствует о несуществовании в этом случае частного решения в разыскиваемом виде. При существуют два решения этих уравнений:

Оба решения определяют один и тот же вид частного решения

Теперь можем записать и общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний:

Чтобы найти закон движения точки, надо в это выражение и его производную

подставить начальные условия, разрешить полученные уравнения относительно неизвестных a, и подставить их в выражение для . Мы не будем делать этого. Отметим только ряд свойств, которые присущи движению при любых начальных условиях.

1. Движение точки представляет собой наложение двух движений — гармонических колебаний частоты к (свободные, или собственные колебания) и гармонических колебаний частоты вынуждающей силы и (вынужденные колебания).

2. Вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения.

3. Для вынужденных колебаний имеет место явление резонанса.