Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Дифференциальные уравнения движения тела могут быть получены при помощи теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента.

Получим эти уравнения для основных видов движения тела — поступательного, вращательного и плоскопараллельного.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково. По этой причине, определив движение какой-то одной точки тела, одновременно получаем все данные и о движении остальных точек. В качестве такой определяющей точки выберем центр масс тела, так как именно для него известно правило составления дифференциальных уравнений движения, устанавливаемое теоремой о движении центра масс.

Дифференциальные уравнения движения центра масс

одновременно служат дифференциальными уравнениями поступательного движения тела. В этих уравнениях индекс центра масс опущен, так как теперь х, у, z — координаты любой точки тела.

Дифференциальное уравнение вращательного движения получим, воспользовавшись теоремой об изменении кинетического момента относительно оси вращения тела. Совмещая ось вращения с координатной осью (см. рис. 33), запишем

Подставляя сюда равенства

получаем дифференциальное уравнение вращательного движения

Направление отсчета угла поворота (р удобно совместить с направлением вращения тела. Тогда правило знаков при вычислении моментов внешних сил, сумма которых стоит в правой части уравнения, будет такое: момент положителен, если направлен в сторону вращения тела; момент отрицателен, если направлен против вращения тела.

Пример. Ротор рубительной машины, вращавшийся с угловой скоростью , после выключения электродвигателя постепенно останавливается под действием постоянного тормозного момента . Определить число оборотов до момента остановки и время торможения. Момент инерции ротора относительно оси вращения равен .

Решение. Составляем дифференциальное уравнение вращения ротора на этапе торможения

Для определения времени торможения запишем уравнение в виде уравнения первого порядка

Разделяем переменные и интегрируем на интервале времени от начала торможения момента остановки ():

Отсюда находим .

Число оборотов до остановки найдется по формуле где — значение угла поворота в момент остановки (в радианах). Угол можно найти, определив путем интегрирования дифференциального уравнения вращения закон движения ротора и подставив в него далее . Однако это можно сделать более коротким способом, если левую часть дифференциального уравнения вращения представить в виде . Тогда определение N сведется к следующим действиям:

Плоскопараллельное движение тела задается движением некоторой точки плоской фигуры тела (полюса) и вращением плоской фигуры в своей плоскости вокруг этого полюса. При решении задач динамики за полюс следует выбирать центр масс тела, так как именно для него известно, как составляются дифференциальные уравнения движения.

Неподвижную систему координат Oxyz выберем так, чтобы плоскость совпадала с плоскостью, в которой движется центр масс тела.

С началом в центре масс строим еще две системы координат — систему осей Кёнига и систему , оси которой неизменно связаны с движущемся телом; координатные плоскости совпадают (рис. 35). Не обозначенные на рисунке оси направлены на читателя.

Рис. 35.

Положение тела задается координатами центра масс и углом поворота . Относительно этих величин и должны составляться дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения. Эти уравнения получим, применяя теорему о движении центра масс и теорему об изменении кинетического момента относительно оси Кёнига , совпадающей в данном случае с осью :