Законы сохранения движения дентра масс

Отметим два важных следствия, вытекающие из теоремы о движении центра масс и называемые законами сохранения движения центра масс.

1. Если на механическую систему не действуют внешние силы или геометрическая сумма внешних сил равна нулю, то центр масс системы движется прямолинейно и равномерно.

2. Если сумма проекций внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось остается постоянной.

Из теоремы о движении центра масс также следует, что без участия внешних сил, одними лишь внутренними силами, невозможно изменить положение центра масс механической системы.

Пример. Прямолинейный стержень АВ длиной и массой опирается своим нижним концом на гладкую горизонтальную плоскость и удерживается в равновесии под углом нитью BD (рис. 26). В некоторый момент нить пережигают. Найти траекторию центра масс в возникающем после этого несвободном падении стержня.

Рис. 26.

Решение. Совместим начало координат с начальным положением опорного конца А стержня, ось направим горизонтально, ось — вертикально вверх. После нарушения связи на стержень действуют две внешние силы — собственный вес , приложенный в центре масс С, и нормальная реакция N опорной плоскости.

Составим дифференциальные уравнения движения центра масс:

Начальные условия движения таковы:

Из первого уравнения, которое запишем в виде дифференциального уравнения первого порядка

сразу же следует: . Подставляя сюда вместо ее выражение и снова интегрируя, находим . По начальным условиям находим . Следовательно, . Это означает, что центр масс при падении стержня движется вдоль вертикальной прямой, проходящей через его начальное положение.

Второе уравнение позволяет выразить (но не найти) динамическую реакцию опорной плоскости

Полное решение задачи, для которого требуется еще найти реакцию N и второе уравнение движения центра масс (уравнение ), одной теоремой о движении центра масс выполнить невозможно.

Для этого следует дополнительно воспользоваться какой-либо из других общих теорем динамики — теоремой об изменении кинетического момента или теоремой об изменении кинетической энергии.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется механической системой? В чем отличие свободных и несвободных механических систем?

2. Как определяются масса и центр масс механической системы?

3. Что называется моментом инерции механической системы относительно оси?

4. Приведите формулы для вычисления моментов инерции твердого тела. Что называется радиусом инерции?

5. Как классифицируются силы, приложенные к точкам механической системы? Сформулируйте свойства внутренних сил.

6. Запишите дифференциальные уравнения движения центра масс механической системы (в векторной и скалярной форме).

7. Приведите словесную формулировку теоремы о движении центра масс.

8. В чем состоят законы сохранения движения центра масс?

Упражнения

1. Определить уравнение траектории конца В стержня в предыдущем примере.

2. Решить следующие задачи из сборника И.В. Мещерского 1981 г. издания: 34.2, 35.5, 35.10, 35.11, 35.17.